Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy, o la desigualdad de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz es una desigualdad muy útil encontrada en diferentes áreas, tales como el álgebra lineal aplicada a vectores, en análisis aplicada a series infinitas e integración de productos, y en teoría de probabilidades, aplicada a varianzas y covarianzas.

La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (a menudo mal escrito como "Schwartz").

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todo par de vectores x e y de un espacio de producto interno real o complejo,

|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.

Equivalentemente, tomando la raíz cuadrada en ambos lados, y refiriéndose a la norma de los vectores, la desigualdad se escribe como

|\langle x,y\rangle| \leq ||x|| \cdot ||y||.

Adicionalmente, los dos lados son iguales si y sólo si x e y son linealmente dependientes (geométricamente, si ellos son paralelos o uno de los vectores es igual a cero).

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es usada para probar que el producto interno es una función continua con respecto a la topología inducida por el producto interno mismo.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es usada para probar la desigualdad de Bessel.

La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el espacio de producto interno de las funciones de onda físicas.

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