Jacobiano


Jacobiano

En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.

Contenido

Matriz jacobiana

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera \mathbf{F}:\R^n \to \R^m continua es decir \mathbf{F} \in \mathcal{C}^{(k)}(\R^n,\R^m) se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal \boldsymbol\lambda \in \mathcal{L}(\R^n,\R^m) tal que:

(1) \lim_{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|\to 0}
\frac{ \| (\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{F}(\mathbf{y})) -
\boldsymbol\lambda(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \|}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|} = 0

Función escalar

Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar \scriptstyle F:\R^n \to \R en este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

\boldsymbol\lambda(\mathbf{x}) := \boldsymbol\nabla F(\mathbf{x}) =
\begin{bmatrix} \cfrac{\part F(\mathbf{x})}{\part x_1} &
\ldots & \cfrac{\part F(\mathbf{x})}{\part x_n} \end{bmatrix}

Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.

Función vectorial

Supongamos \scriptstyle \mathbf{F}:\R^n \to \R^m es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:

y_i = F_i(x_1,\ldots, x_n), \qquad
\mathbf{y}=\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (F_1(\mathbf{x}),\dots,F_m(\mathbf{x}))

Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de éstas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F:

\begin{bmatrix}
\cfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\cfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}

Esta matriz es notada de diversas maneras:

J_\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n), \qquad \mbox{o} \qquad
\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)},
\qquad \mbox{o} \qquad D\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n),
\qquad \mbox{o} \qquad \boldsymbol\nabla\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n)

Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función yi, para i = 1,...,m.

Si p es un punto de Rn y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por JF(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por JF(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:

\mathbf{F}(\mathbf{x}) \approx
 \mathbf{F}(\mathbf{p}) + J_\mathbf{F}(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p})

para x cerca de p. O con mayor precisión:

\lim_{\|\mathbf{x}-\mathbf{p}\|\to 0}
\frac{ \| \mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{F}(\mathbf{p}) -
J_\mathbf{F}(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \|}{\|\mathbf{x}-\mathbf{p}\|} = 0

Ejemplos

Ejemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R3R3 definida como:

F(x_1,x_2,x_3) = (x_1,5x_3,4x_2^2 - 2x_3)

es:

J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2\end{bmatrix}

No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. Supóngase la función F : R3R4, cuyas componentes son:

 y_1 = 1/x_1 \;
 y_2 = 5x_3 \,
 y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,
 y_4 = x_3 \sin(x_1) \,

Aplicando la definición de matriz jacobiana:

J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1/x_{1}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}.

Determinante jacobiano

Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz jacobiana es cuadrada y podemos calcular su determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano.

El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del determinante en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.

Ejemplos

Ejemplo 1. El determinante jacobiano de la función F : R3R3 definida como:

 F(x_1,x_2,x_3)=(5x_2 , 4x_1^2 - 2\sin (x_2x_3) ,x_2 x_3 )

es:

J(x_1,x_2,x_3)= \begin{vmatrix}
0 & 5 & 0 \\
8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\
0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}= =-5\cdot\begin{vmatrix} 8x_1 & -2x_2\cos(x_2&x_3)\\ 0&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2

El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá donde x1 = 0 ó x2 = 0 (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.


Ejemplo 2. Cambiando un poco la función anterior por ésta:

 F(x_1,x_2,x_3)=(5x_2 , 4x_1^2 - 2\sin (x_2x_3) ,x_1 )

El determinante jacobiano quedará:

J(x_1,x_2,x_3)=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}=
=-5\cdot\begin{vmatrix} 8x_1 & -2x_2\cos(x_2&x_3)\\ 1&0\end{vmatrix}=-10x_2\cos(x_2 x_3).

En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado \scriptstyle x_2=0, y por otro:

\cos \left( {{x}_{2}}{{x}_{3}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}{{x}_{3}}=\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{2} con k = 0,1,2...

Invertibilidad y jacobiano

Una propiedad interesante del jacobiano es que cuando éste es diferente de cero en el entorno de un punto dado, entonces el teorema de la función inversa garantiza que la función admite una función inversa alrededor de dicho punto.

El teorema anterior expresa una condición suficiente aunque no necesaria, ya que por ejemplo la función \scriptstyle f(x) = x^3 tiene por jacobiano \scriptstyle J=2x^2 que se anula en el punto \scriptstyle x=0, aunque alrededor de ese punto la función sigue teniendo inversa \scriptstyle g(x) = f^{-1}(x) = x^{1/3} aún cuando el jacobiano es nulo en el origen.

Véase también


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