Difeomorfismo local

Difeomorfismo local

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En matemáticas, un difeomorfismo local es una aplicación diferenciable f : M → N entre variedades diferenciables tal que, para cada punto p de M, existe un entorno abierto U de p tal que f(U) es abierto en N y f|_U : U → f(U) (restricción de f a U) es un difeomorfismo.

Destaquemos que:

• todo difeomorfismo local es también un homeomorfismo local, luego será una aplicación abierta.
• Un difeomorfismo local y biyectivo será un difeomorfismo.

De acuerdo con el teorema de la función inversa, una aplicación diferenciable f : M → N es un difeomorfismo local si y sólo si la aplicación tangente T_pf : T_pM → T_f(p)N es un isomorfismo lineal para todo punto p de M. En particular, esto implica que M y N deben tener la misma dimensión.

No todo difeomorfismo local es un difeomorfismo (global). Baste como ejemplo la aplicación F de R² en R² definida por

$\mathbf{F}(x,y) = \begin{bmatrix} {e^x \cos y}\\ {e^x \sin y}\\ \end{bmatrix}$

cuyo determinante jacobiano es no nulo en todo punto. Mediante el teorema de la función inversa podemos comprobar que es un difeomorfismo local. Pero no es inyectiva, puesto que f(x,y)=f(x,y+2kπ), por lo tanto no es un difeomorfismo.

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