Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

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La dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir la dimensión de una dimensión fraccionaria (no-entera) para un objeto fractal.

Medida de Hausdorff

Contenido de Hausdorff de un conjunto: para valores de la dimensión inferiores a la dimensión de Haussdorff el contenido de Hausdorff es infinito, para valores superiores el contenido es cero. Sólo para un valor igual a la dimensión de Hausdorff el contenido es una cantidad positiva y finita.

Sea $U\subset \mathbb{R}^n$ un conjunto no vacío. El diámetro de U se define como $|U|= \sup \{|x-y|:x,y \in U \}$.

Sea ahora $I\,$ un conjunto arbitrario de índices. La colección $\{U_i\}_{i\in I}$ se denomina δ-recubrimiento de $F\,$ si:

• $F\subset \bigcup_{i\in I} U_i$; y
• $0< |U_i|\leq\delta$, para cada $i\in I$.

Sea $F\subset \mathbb{R}^n$ y s un número no-negativo. Para cualquier δ > 0 se define:

$\mathcal{H}^s_{\delta} (F) = \inf \{ \sum_{i=1}^\infty |U_i|^s \}$

en donde el ínfimo se toma sobre todos los δ-recubrimientos numerables de F. Es posible verificar que $\mathcal{H}^s_{\delta}$ es de hecho una medida exterior en $\mathbb{R}^n$.

La medida exterior s-dimensional de Hausdorff del conjunto F se define como el valor:

$\mathcal{H}^s (F) = \displaystyle \lim_{\delta \rightarrow 0} \mathcal{H}^s_{\delta} (F)$

Este límite existe, sin embargo, como $\mathcal{H}^s_{\delta}$ crece cuando δ decrece, puede ser infinito.

Es fácil ver que $\mathcal{H}^s$ es una medida exterior, así que, por el Teorema de Carathéodory, la restricción de $\mathcal{H}^s$ a los conjuntos $\mathcal{H}^s$-medibles es de hecho una medida, llamada medida s-dimensional de Hausdorff.

La medida de Hausdorff generaliza la idea de longitud, área y volumen. La medida de dimensión cero cuenta el número de puntos en un conjuntos si el conjunto es finito, o es infinita si el conjunto lo es. La medida unidimensional mide la longitud de una curva suave en $\mathbb{R}^n$. La medida bidimensional de un conjunto en $\mathbb{R}^2$ es proporcional a su área y análogamente la medida tridimensional de un conjunto en $\mathbb{R}^3$ es proporcional a su volumen.

Para todo conjunto $F \subset \mathbb{R}^n$ existe $s_o \leq n$ con la propiedad: $\mathcal{H}^s(F) = \left \{ \begin{array}{rcl} \infty & \textrm{para} & s < s_o \\ 0 & \textrm{para} & s>s_0 \end{array} \right.$

Un gráfico de $\mathcal{H}^s$ en función de s (Ver figura) muestra que existe un valor crítico de s en el cual $\mathcal{H}^s$ cambia súbitamente de $\infty$ a 0.

El comportamiento de $\mathcal{H}^s (F)$ puede explicarse de la siguiente manera: Se cubre el conjunto F con infinitos conjuntos de diámetro pequeño $\delta \rightarrow 0$ y se calcula la suma de dichos diámetros elevados a la s-ésima potencia. Si s es pequeño, dichas potencias tienden a 1 lo cual produce que la suma diverja. Si s es grande, las s-ésimas potencias tienen a cero y la suma tiende a anularse.

Dimensión de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff se define como:

$dim_H(F) := sup \{s: \mathcal{H}^s (F) = \infty \} := inf\{s: \mathcal{H}^s (F) = 0\}$

Referencias

• Falconer K. "The Geometry of Fractal Sets" (Cambridge University Press 1985)
• Falconer K. "Fractal Geometry: mathematical foundations and applications" (2ed., Wiley 2003)
• Helmberg G. "Getting Acquainted with Fractals"

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