Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

La dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir la dimensión de una dimensión fraccionaria (no-entera) para un objeto fractal.

Medida de Hausdorff

Contenido de Hausdorff de un conjunto: para valores de la dimensión inferiores a la dimensión de Haussdorff el contenido de Hausdorff es infinito, para valores superiores el contenido es cero. Sólo para un valor igual a la dimensión de Hausdorff el contenido es una cantidad positiva y finita.

Sea U\subset \mathbb{R}^n un conjunto no vacío. El diámetro de U se define como |U|= \sup \{|x-y|:x,y \in U \}.

Sea ahora I\, un conjunto arbitrario de índices. La colección \{U_i\}_{i\in I} se denomina δ-recubrimiento de F\, si:

  • F\subset \bigcup_{i\in I} U_i; y
  • 0< |U_i|\leq\delta, para cada i\in I.

Sea F\subset \mathbb{R}^n y s un número no-negativo. Para cualquier δ > 0 se define:

 \mathcal{H}^s_{\delta} (F) = \inf \{ \sum_{i=1}^\infty |U_i|^s \}

en donde el ínfimo se toma sobre todos los δ-recubrimientos numerables de F. Es posible verificar que  \mathcal{H}^s_{\delta} es de hecho una medida exterior en \mathbb{R}^n.

La medida exterior s-dimensional de Hausdorff del conjunto F se define como el valor:

\mathcal{H}^s (F) = \displaystyle \lim_{\delta \rightarrow 0} \mathcal{H}^s_{\delta} (F)

Este límite existe, sin embargo, como \mathcal{H}^s_{\delta} crece cuando δ decrece, puede ser infinito.

Es fácil ver que \mathcal{H}^s es una medida exterior, así que, por el Teorema de Carathéodory, la restricción de \mathcal{H}^s a los conjuntos \mathcal{H}^s-medibles es de hecho una medida, llamada medida s-dimensional de Hausdorff.

La medida de Hausdorff generaliza la idea de longitud, área y volumen. La medida de dimensión cero cuenta el número de puntos en un conjuntos si el conjunto es finito, o es infinita si el conjunto lo es. La medida unidimensional mide la longitud de una curva suave en \mathbb{R}^n. La medida bidimensional de un conjunto en \mathbb{R}^2 es proporcional a su área y análogamente la medida tridimensional de un conjunto en \mathbb{R}^3 es proporcional a su volumen.

Para todo conjunto F \subset \mathbb{R}^n existe s_o \leq n con la propiedad: \mathcal{H}^s(F) = \left \{ \begin{array}{rcl} \infty & \textrm{para} & s < s_o  \\ 0 & \textrm{para} & s>s_0  \end{array} \right.

Un gráfico de \mathcal{H}^s en función de s (Ver figura) muestra que existe un valor crítico de s en el cual \mathcal{H}^s cambia súbitamente de \infty a 0.

El comportamiento de \mathcal{H}^s (F) puede explicarse de la siguiente manera: Se cubre el conjunto F con infinitos conjuntos de diámetro pequeño \delta \rightarrow 0 y se calcula la suma de dichos diámetros elevados a la s-ésima potencia. Si s es pequeño, dichas potencias tienden a 1 lo cual produce que la suma diverja. Si s es grande, las s-ésimas potencias tienen a cero y la suma tiende a anularse.

Dimensión de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff se define como:


dim_H(F) := sup \{s: \mathcal{H}^s (F) = \infty \} := inf\{s: \mathcal{H}^s (F) = 0\}

Referencias

  • Falconer K. "The Geometry of Fractal Sets" (Cambridge University Press 1985)
  • Falconer K. "Fractal Geometry: mathematical foundations and applications" (2ed., Wiley 2003)
  • Helmberg G. "Getting Acquainted with Fractals"
Obtenido de "Dimensi%C3%B3n de Hausdorff-Besicovitch"

Wikimedia foundation. 2010.

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