Dominio de Lipschitz

Dominio de Lipschitz

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En matemática, un dominio de Lipschitz (o dominio con frontera de Lipschitz) es un dominio en el Espacio Euclidiano cuya frontera es "suficientemente regular" en el sentido que esta puede ser considerada como si fuera la gráfica de una función continua de Lipschitz. El término fue dado por el matemático Aleman Rudolf Lipschitz.

Definición

Sea n ∈ N, y tomemos Ω como un abierto y subconjunto acotado de Rⁿ. Sea ∂Ω que denota la frontera de Ω. Entonces Ω se dice que tiene una frontera de Lipschitz, y es llamado un dominio de Lipschitz, si, para cada punto p ∈ ∂Ω, existe un radio r > 0 y un mapeado h_p : B_r(p) → Q tal que

• h_p es una biyección;
• h_p y h_p⁻¹ son ambas funciones contínuas de Lipschitz;
• h_p(∂Ω ∩ B_r(p)) = Q₀;
• h_p(Ω ∩ B_r(p)) = Q₊;

donde

$B_{r} (p) := \{ x \in \mathbb{R}^{n} | \| x - p \| < r \}$

denota la bola abierta de dimensión n de radio r alrededor de p, Q denota la bola unitaria B₁(0), y

$Q_{0} := \{ (x_{1}, \dots, x_{n}) \in Q | x_{n} = 0 \};$

$Q_{+} := \{ (x_{1}, \dots, x_{n}) \in Q | x_{n} > 0 \}.$

Aplicaciones del los dominios de Lipschitz

Muchos de las desigualdades de Sobolev requieren que el dominio de estudio sea un dominio de Lipschitz. En consecuencia, muchas ecuaciones diferenciales parciales y problemas variacionales son definidos en un dominio de Lipschitz.

Referencias

• Dacorogna, B. (2004). Introduction to the Calculus of Variations. Imperial College Press, London. ISBN 1-86094-508-2.

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