Dominio euclídeo


Dominio euclídeo

Dominio euclídeo

Un dominio euclídeo (o anillo euclídeo) es un par (R,φ) donde R es un dominio de integridad y φ es una aplicación norma euclídea, es decir, una aplicación \phi: R \setminus \{0\} \longrightarrow \mathbb{N} \cup \{0\} que cumple las siguientes dos condiciones:

  • \phi(a) \leq \phi(a \cdot b) cualesquiera que sean a,b \in R \setminus \{0\}.
  • Para cualesquiera a,b \in R tales que b \neq 0 se cumple que existen q,r \in R de manera que a = bq + r si r \neq 0 ha de ser φ(r) < φ(b).

Es importante señalar que la definición es exactamente esa, aun cuando en algún caso particular pueda extenderse φ a todo el conjunto R.

Ejemplos

  • Si tomamos el conjunto de los números enteros \mathbb{Z} y como norma euclídea tomamos la aplicación valor absoluto | \cdot |, tenemos un dominio euclídeo.
  • Considerando el anillo de polinomios en una variable \mathbb{K}[x] con coeficientes en el cuerpo \mathbb{K} y como aplicación norma euclídea tomo el grado deg de cada polinomio, el resultado es un dominio euclídeo.

Véase también algoritmo de la división

Obtenido de "Dominio eucl%C3%ADdeo"

Wikimedia foundation. 2010.

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