Elemento algebraico


Elemento algebraico

Elemento algebraico

Un elemento algebraico sobre un cierto cuerpo matemático es un elmento de un conjunto que contiene a dicho cuerpo matemático y que constructible a partir de ciertas operaciones algebraicas relacionadas con los polinomios sobre el cuerpo original.

Contenido

Introducción

La Teoría de Cuerpos es una rama de la Teoría de Anillos, que a su vez es una rama del Álgebra Abstracta. Uno de las principales campos de estudio de la Teoría de Cuerpos es el de decidir si un polinomio cuyos coeficientes están en el cuerpo tiene sus raíces en el cuerpo (es decir, si al resolver la ecuación polinómica, las soluciones pertenecen o no al cuerpo).

Cuando un cuerpo está incluido en otro cuerpo puede ocurrir que los elementos del grande sean raíces de polinomios con coeficientes en el pequeño -en cuyo caso se dice que los elementos son algebraicos- o que haya elementos que no son raíces de ninguno de esos polinomios. En este último caso se dice que dichos elementos son trascendentes.

Construcción

(La siguiente información es de carácter técnico, y puede resultar ardua e incomprensible para el no iniciado en el Álgebra Abstracta, pero es esencial para comprender el desarrollo de esta rama de la Matemática. Por desgracia no puede exponerse de una manera más llana sin perder rigor, lo que haría que dejara de ser útil.)

Sean dos cuerpos (K,+,\cdot) y (L,+,\cdot) de forma que L es extensión de K. Sea \alpha \in L. Si \alpha \in K, entonces α es raíz del polinomio p(x) = x − α, que es irreducible en K[x] (todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier anillo de polinomios). Si \alpha \in L \setminus K, entonces realizamos la siguiente construcción:

  • Construimos el conjunto K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x]\}. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de K, es subcuerpo de L, y de hecho es la menor extensión de K que contiene a α. Se le denomina extensión generada por α sobre K.
  • Construimos la aplicación \beta: K[x] \longrightarrow K(\alpha) que a cada polinomio p(x) \in K[x] le hace corresponder su evaluación en α, i.e., β(p) = p(α). Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina aplicación evaluación.

Ahora sólo pueden darse dos situaciones:

Como \bar{\beta} es sobreyectiva (ya que es isomorfismo), Img \bar{\beta} = Img \beta. Img \beta \cong \frac{K[x]}{(p)} (Primer Teorema de Isomorfía), que es subanillo de K(α), quien a su vez es un cuerpo, luego Imgβ es dominio íntegro por carecer de divisores de cero no nulos, con lo que también \frac{K[x]}{(p)} es dominio íntegro.
Pero si \frac{K[x]}{(p)} es dominio íntegro será (p) ideal primo en K[x]. Sabemos que (p) = Ker(\beta) \neq \{0\} (por hipótesis), luego p \neq 0. Además, si fuera p \notin K = U(K[x]) (también por hipótesis). Con lo cual tenemos garantizado que p es un polinomio irreducible en K[x] (por ser dominio de ideales principales). Además, como K[x] es dominio de ideales principales, todo ideal primo es maximal, con lo cual (p) es ideal maximal de K[x], luego \frac{K[x]}{(p)} es un cuerpo. Así Img \beta \cong \frac{K[x]}{(p)} es un subcuerpo de K(α). Como K \subset K[x], si a \in K será a = \beta(a)=(i \circ \bar{\beta} \circ \pi) (a) = i(\bar{\beta}(\pi(a))) = i(\bar{\beta}(a)) = \bar{\beta}(a), con lo que se demuestra que K es subcuerpo de Imgβ.
Por otro lado, \bar{\beta}(x) = i(\bar{\beta}(x)) = i(\bar{\beta}(\pi(x))) = (i \circ \bar{\beta} \circ \pi)(x) = \beta(x) = \alpha, con lo que \alpha \in Img \beta \cong \frac{K[x]}{(p)}. Así, Imgβ es un subcuerpo de K(α) que contiene a K y a α. Como K(α) es la menor extensión de K que contiene a α llegamos a la conclusión de que K(\alpha) = Img \beta \cong \frac{K[x]}{(p)}.

En esta segunda situación (Ker(\beta) \neq \{0\}, o equivalentemente, existe algún p \in K[x] irreducible con \frac{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)) se dice que α es algebraico sobre K.

Un elemento es algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible

Si α es un elemento algebraico sobre el cuerpo K de manera que \alpha \notin K, el polinomio p que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., Kerβ = (p)) es irreducible. Dividiendo p por su coeficiente principal (aquél escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable x) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por m_{\alpha}^K y se denomina polinomio mónico irreducible de α respecto de K.

Claramente, K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(m_{\alpha}^K)}.

Véase también

Obtenido de "Elemento algebraico"

Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Elemento algebraico — La Teoría de Cuerpos es una rama de la Teoría de Anillos, que a su vez es una rama del Álgebra Abstracta. Uno de las principales campos de estudio de la Teoría de Cuerpos es el de decidir si un polinomio cuyos coeficientes están en el cuerpo… …   Enciclopedia Universal

  • Elemento trascendente — Saltar a navegación, búsqueda La Teoría de Cuerpos es una rama de la Teoría de Anillos, que a su vez es una rama del Álgebra Abstracta. Uno de las principales campos de estudio de la Teoría de Cuerpos es el de decidir si un polinomio cuyos… …   Wikipedia Español

  • Elemento primitivo — Saltar a navegación, búsqueda En matemática, un elemento primitivo de una extensión de cuerpos L/K es un elemento ζ de L tal que L = K(ζ), o en otras palabras, L está generado por ζ sobre K. Esto significa que todo elemento de L puede ser escrito …   Wikipedia Español

  • Elemento — Saltar a navegación, búsqueda El término elemento puede referirse a los siguientes artículos: Elemento químico, clase de átomos que poseen el mismo número de protones en su núcleo. Elemento de un conjunto. Elemento algebraico. Elementos de la… …   Wikipedia Español

  • Número entero algebraico — No debe confundirse con elemento algebraico. En teoría de números, un número entero algebraico es un número complejo que es la raíz de algún polinomio mónico (siendo el coeficiente principal 1) con coeficientes en ℤ. El conjunto de todos los… …   Wikipedia Español

  • Conjunto algebraico — En Geometría algebraica, un conjunto algebraico es el conjunto de ceros comunes a un conjunto de polinomios. Esto es, si S={p1, p2, ..., pt} es un conjunto de polinomios en n variables, el conjunto algebraico correspondiente a S, denotado por… …   Wikipedia Español

  • Tipo de datos algebraico — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas discretas es usual introducir definiciones de estructuras recursivas dando los casos de definición y un axioma de clausura indicando que ninguna otra cosa forma parte de lo definido. Por ejemplo, los… …   Wikipedia Español

  • Tipo de dato algebraico — En matemáticas discretas es usual introducir definiciones de estructuras recursivas dando los casos de definición y un axioma de clausura indicando que ninguna otra cosa forma parte de lo definido. Por ejemplo, los árboles con información en los… …   Wikipedia Español

  • Tipo de datos algebraico — En matemáticas discretas es usual introducir definiciones de estructuras recursivas dando los casos de definición y un axioma de clausura indicando que ninguna otra cosa forma parte de lo definido. Por ejemplo, los árboles con información en los… …   Enciclopedia Universal

  • Extensión de cuerpo — Saltar a navegación, búsqueda En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y funcionan bien . Cuando se construye una …   Wikipedia Español


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.