Elemento simétrico

Elemento simétrico

Saltar a navegación, búsqueda

En Álgebra abstracta, si tenemos conjunto $A \,$ en el que se ha definido una Operación matemática $\circ$, que anotamos: $( A , \circ ) \,$, siendo la operación $\circ$, interna en $A \,$:

$\forall a, b \in A : \quad a \circ b \in A$

Con elemento neutro $e \,$,

$\forall a \in A , \quad \exists e \in A : \quad a \circ e = e \circ a = a$

Se dice que un elemento $a \in A$ tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación $\circ$ si:

$a \in A , \quad \exists \overrightarrow{a} \in A : \quad \overrightarrow{a} \circ a = e$

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación $\circ$ si:

$a \in A , \quad \exists \overleftarrow{a} \in A : \quad a \circ \overleftarrow{a} = e$

elemento simétrico respecto de la operación $\circ$ si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

$a \in A , \quad \exists \bar{a} \in A : \quad \bar{a} \circ a = a \circ \bar{a} = e$

Un elemento simétrico $\bar{a}$ de $A \,$ es simétrico por la derecha del elemento $a \,$ y simétrico por la izquierda del elemento $a \,$.

Notación

Notación aditiva

Cuando la operación se denota por "+" (más), se denomina suma o adición.

la suma de Número entero: Z, es interna

$\forall a, b \in Z : \quad a + b \in Z$

En ese caso, al elemento neutro se le denomina cero y se le denota por "0",

$\forall a \in Z , \quad \exists 0 \in Z : \quad a + 0 = 0 + a = a$

y al elemento simétrico de $a \,$ se le denomina elemento opuesto de $a \,$ y se le denota por: $-a \,$.

Así partiendo de los números entero: Z, y la operación suma: +, tenemos que:

$a \in Z , \quad \exists (-a) \in Z : \quad (-a) + a = a + (-a) = 0$

Notación multiplicativa

Cuando la operación se denota por "·" (por), se denomina producto o multiplicación. La multiplicación de Número racional: Q, es interna

$\forall a, b \in Q : \quad a \times b \in Q$

En ese caso, al elemento neutro se le denomina uno o unidad y se le denota por "1":

$\forall a \in Q , \quad \exists 1 \in Q : \quad a \times 1 = 1 \times a = a$

y al elemento simétrico de $a \,$ se le denomina elemento inverso de $a \,$ y se le denota por $a^{-1} \,$ o por $\frac{1}{a}$

Partiendo de los números racional: Q y de la operación multiplicación, tenemos:

$a \in Q , \quad \exists \frac{1}{a} \in Q : \quad \frac{1}{a} \times a = a \times \frac{1}{a} = 1$

Véase también

Operación matemática

Elemento neutro

Número

Opuesto

Inverso multiplicativo

Obtenido de "Elemento sim%C3%A9trico"