Élie Cartan

Élie Joseph Cartan (Dolomieu, Saboya, 9 de abril 1869 - París, 6 de mayo 1951) fue un matemático francés, que llevó a cabo trabajos fundamentales en la teoría de grupos de Lie y sus usos geométricos.

Biografía

Estudió en la Escuela Normal Superior de París en 1888. Después de su doctorado en 1894, trabajó en Montpellier y Lyon, haciéndose profesor en Nancy en 1903. Obtuvo un puesto en París en 1909, y pasó a ser profesor en 1912. Se retiró en 1942. Fue padre del matemático Henri Cartan y del físico Louis Cartan.

Labor matemática

En su propia opinión, el tema principal de sus trabajos (186 publicados durante el período 1893-1947) fue la teoría de grupos de Lie. Comenzó trabajando sobre el material fundacional de las álgebras de Lie simples complejas, ordenando el trabajo previo de Friedrich Engel y Wilhelm Killing. Esto dio como resultado la clasificación definitiva, con la identificación de las cuatro familias principales y de los cinco casos excepcionales. También introdujo el concepto de grupo algebraico, que no sería desarrollado seriamente antes de 1950.

Definió la noción general de forma diferencial antisimétrica, en el modo en el que se utiliza actualmente; su enfoque a los grupos de Lie con las ecuaciones de Maurer-Cartan requería 2-formas para su determinación. En aquella época, lo que se dio en llamar sistemas de Pfaff (es decir, ecuaciones diferenciales de primer orden dadas como 1-formas) eran de uso general; por medio de la introducción de las variables nuevas para las derivadas, y formas adicionales, se pudo llegar a una formulación muy general de los sistemas de EDP. Cartan agregó la derivada exterior, como operación enteramente geométrica e independiente de las coordenadas, lo que conduce naturalmente a la necesidad de discutir p-formas, de grado general p. Cartan reconoció la influencia en él de la teoría general de Riquier de EDP.

Con estos fundamentos (Grupos de Lie y formas diferenciales) produjo un gran corpu de trabajo, y también algunas técnicas generales, como el marco móvil, que quedaron incorporadas gradualmente en la corriente principal de las matemáticas.

Murió en 1951, a los 82 años de edad.

Travaux (Trabajos)

En el Travaux, analiza su trabajo en 15 áreas. Usando terminología moderna, son éstas:

1. los grupos de Lie
2. las representaciones de grupos de Lie
3. los números hipercomplejos, las las álgebras de división
4. los sistemas de EDPs, teorema de Cartan-Kähler
5. teoría de equivalencia
6. los conjuntos integrables, teoría de prolongación y de los sistemas en involución
7. los grupos y pseudogrupos infinito-dimensionales
8. geometría diferencial y los marcos móviles
9. espacios generalizados con grupos de estructura y conexión, conexión de Cartan, holonomía, tensor de Weyl
10. geometría y topología de los grupos de Lie
11. geometría de Riemann
12. los espacios simétricos
13. la topología de grupos compactos y sus espacios homogéneos
14. invariantes integrales y mecánica clásica
15. relatividad, los espinores

Véase también

• Conexión de Cartan
• Teoría de Einstein-Cartan