Endomorfismo de Frobenius

En álgebra conmutativa y teoría de cuerpos, que son ramas de las matemáticas, el endomorfismo de Frobenius es un endomorfismo de anillos de característica un número primo. En ciertos contextos es un automorfismo, pero este hecho no es cierto en general.

Sea R un anillo conmutativo de característica un número positivo y primo p (la característica es siempre un número primo cuando R es un dominio de integridad, por ejemplo). El endomorfismo de Frobenius F se define como

F(r)=r^p

para todo r de R. Se puede ver como esta aplicación respecta la multiplicación de elementos de R: F(rs)=(rs)^p = r^ps^p así como la suma en R. La expresión (r + s)^p puede ser desarrollada usando el teorema del binomio, y como p es primo, los coeficientes de todos los términos excepto r^p y s^p son divisibles por p, la característica, por lo que son iguales a cero. Finalmente vemos que claramente F(1)=1, por lo que acabamos de demostrar que F es un homomorfismo de anillos.

En general, F no es un automorfismo. Por ejemplo, sea K el cuerpo F_p(t), es decir, un cuerpo finito con p elementos junto con un solo elemento trascendente. Podemos afirmar que la imagen de F no contiene t. Demostraremos este hecho por contradicción: Suponemos que existe un elemento de K cuya imagen al aplicarle F es t. Dicho elemento es una función racional q(t)/r(t) cuya potencia p-esima (q(t)/r(t))^p es igual a t. Esto implica que p(deg q - deg r) = 1, lo cual es imposible. Por lo que F no es exhaustiva (suprayectiva) y por tanto no es un automorfismo. Incluso es posible que F no sea inyectiva. Esto ocurre si y solo si R tiene un elemento nilpotente de orden inferior o igual a p.

Puntos fijos en el endomorfismo de Frobenius

Sea R un dominio de integridad. La aplicación de Frobenius deja fijos todos los elementos de R que satisfacen la ecuación x^p = x. Estas son todas las raíces de la ecuación x^p - x, y como esta ecuación tiene grado p, hay como mucho p raíces. Estas son exactamente los elementos 0, 1, 2, ..., p - 1, así que el conjunto de puntos fijos de F definen un cuerpo primo.

Iterando la aplicación de Frobenius obtenemos una secuencia de elementos de R:

$x, x^p, x^{p^2}, x^{p^3}, \ldots$

Aplicando iterativamente e veces F a un anillo que contenga un cuerpo K de p^e elementos se obtiene un conjunto de puntos fijos igual a K, similar al ejemplo anterior. Los iterados de la aplicación de Frobenius se usan para definir la clausura de Frobenius y la clausura estricta de un ideal.

Frobenius para cuerpos finitos

Sea F_q el cuerpo finito de q elementos, donde q=p^e.

F deja fijo F_p con dicho argumento. Si q=2, entonces F², la segunda iteración de Frobenius, deja fijos p² elementos, por lo que deja fijo ${\bold F}_{p^2}$.

En general, F^e deja fijo ${\bold F}_{p^e}$.

Además, F genera el Grupo de Galois de cualquier extensión de cuerpos finitos.

Véase también

• Ferdinand Georg Frobenius