Espacios Lp


Espacios Lp

Espacios Lp

Los espacios Lp son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de espacio de Lebesgue por el matematico Henri Lebesgue.

Contenido

Definición

Consideremos (X,Σ,μ) un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:

\mathcal{L}^p,\ \mbox{para}\ p \in [1, \infty)

Como el espacio de todas las funciones medibles f\, que cumplen:

\int |f|^p d\mu < \infty

Asimismo, se define el espacio \mathcal{L}^\infty\, como el espacio de las funciones medibles f\, que verifican:

\inf \{a \in \mathbb{R}: \mu(\{x \in X: |f(x)|\geq a\})=0\} <\infty

Es decir, aquellas funciones medibles acotadas ctp. Una norma natural para definir en estos espacios sería:

 ||f||_p=(\int |f|^p d\mu)^{\frac1p}, si p<\infty, y ||f||_\infty=\inf \{a \in \mathbb{R}: \mu(\{x \in X: |f(x)|\geq a\})=0\}

Sin embargo, una aplicación así definida no resulta norma, ya que no se cumple ||f||_p=0 \Rightarrow f=0, pues cualquier función que sea igual a la función nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendrá norma cero.

Así, se define la siguiente relación de equivalencia R sobre \mathcal{L}^p:  fRg \Leftrightarrow f=g ctp. Se prueba que efectivamente es una relación de equivalencia, y se defina L^p=\mathcal{L}^p/R, i.e., el espacio vectorial cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relación R. Considerando entonces sobre Lp las normas anteriormente definidas (donde f es cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba que ||\cdot||_p resulta ser norma y que su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido. Usualmente no se hace distinción entre función y clase de equivalencia en este contexto.

Propiedades

  1. Lp es Banach
  2. L2 es un Espacio de Hilbert, dotado del producto interno  \langle f,g\rangle=\int fg d\mu.
  3. Si \mu(X)<\infty, entonces \forall s>r se tiene que L^\infty \subseteq L^s \subseteq L^r.
  4. Si p \in (1, \infty), L^p es reflexivo
  5. Si denotamos por Ε al espacio de las funciones simples, se cumple que \Epsilon \cap L^p es denso en Lp.
  6. Si p \in (1, \infty), el dual topológico de Lp es Lq donde q es tal que  \frac1p + \frac1q=1 .
  7. Si el espacio de medida es σ-finito, entonces el dual de L1 se identifica con L^\infty.
  8. Si (X,Θ) es un espacio topológico localmente compacto separado, y μ es una medida regular, entonces C_0(X, \mathbb{R}) (el espacio de las funciones continuas a soporte compacto) es denso en Lp con 1\leq p<\infty.
  9. El espacio de las funciones infinitamente derivables en un abierto \Omega\subseteq\mathbb{R}^n a soporte compacto y que están en Lp con 1\leq p<\infty, es denso en Lp, es decir adh_{L^p(\Omega)}(C_0^{\infty}(\Omega)\cap L^p(\Omega))=L^p(\Omega).

Algunos Ejemplos Importantes

  1. Si X=\mathbb{N}, \Sigma=\mathcal{P}(\mathbb{N}), \mu(A)=|A| (su cardinalidad), entonces Lp = variables aleatorias Y que cumplen \mathbb{E}(|Y|^p)<\infty.
  2. Si X=\mathbb{R}, \mu es la Medida de Lebesgue, entonces el espacio es el de las funciones a una variable real usuales, con la medida usual en \mathbb{R}.

Véase también

Obtenido de "Espacios Lp"

Wikimedia foundation. 2010.

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