Espacio dual

En matemáticas, la existencia de un espacio vectorial 'dual' refleja de una manera abstracta la relación entre los vectores fila (1×n) y los vectores columna (n×1). La construcción puede darse también para los espacios infinito-dimensionales y da lugar a modos importantes de ver las medidas, las distribuciones y el espacio de Hilbert. El uso del espacio dual es así, en una cierta manera, recurso del análisis funcional. Es también inherente a la transformación de Fourier.

El espacio dual algebraico

Dado cualquier espacio vectorial V sobre un cierto cuerpo F, definimos el espacio dual V* como el conjunto de todas las funcionales lineales en F, es decir, transformaciones lineales en V a valores escalares (en este contexto, un "escalar" es un miembro del cuerpo-base F). El propio V* se convierte en un espacio vectorial sobre F bajo la definiciones siguientes ('punto a punto') de la adición y de la multiplicación escalar

$\begin{cases} (\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \\ ( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \end{cases}$

para todos φ, ψ en V*, a en F y x en V. En lenguaje del cálculo tensorial, los elementos de V a veces se llaman vectores contravariantes, y los elementos de V* vectores covariantes (y a campos de estos uno-formas).

Ejemplos

Si la dimensión de V es finita, entonces V* tiene la misma dimensión que V; si { e₁,..., e _n} es una base para V, entonces la base dual asociada { e¹,...,e ⁿ} de V* viene dada por:

$e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }i = j \\ 0, & \mbox{si } i \ne j \end{matrix}\right.$

Específicamente, si se intepreta Rⁿ como espacio de columnas de n números reales, su espacio dual se escribe típicamente como el espacio de filas de n números. Tal fila actúa en Rⁿ como funcional lineal por la multiplicación ordinaria de matrices. Si V consiste en el espacio de los vectores geométricos (flechas) en el plano, entonces los elementos del dual V* se pueden intuitivamente representar como colecciones de líneas paralelas. Tal colección de líneas se puede aplicar a un vector para dar un número de la manera siguiente: se cuenta cuántas de las líneas cruzan el vector.

Si V es infinito-dimensional, entonces la construcción antedicha e^j no produce una base para V* y la dimensión de V* es mayor que la de V. Considérese por ejemplo el espacio R ^(ω), cuyos elementos son las secuencias de números reales que tienen solo una cantidad finita de entradas diferentes de cero. El dual de este espacio es R^ω, el espacio de todas las secuencias de números reales. Tal secuencia (a_n) se aplica a un elemento (x_n) de R^(ω) para dar Σ_n x_na_n.

Traspuesta de una transformación lineal

Si f: V -> W es una función lineal, se puede definir su transpuesta $f^\dagger:W^*\to V^*$ por

$f^\dagger(\phi ) = \phi \circ f \,$

para cada ϕ en W*, la asignación $f\mapsto f^\dagger$ genera un homomorfismo inyectivo entre el espacio de operadores lineales de V a W y el espacio de operadores lineales de W* a V*; este homomorfismo es un isomorfismo ssi W es finito-dimensional o V es trivial. Si la función lineal f es representada por la matriz A con respecto a dos bases de V y W, entonces ^tf es representada por la matriz transpuesta ^tA con respecto a las bases duales de W* y de V*. Si g: W → X es otra función lineal, se tiene ^t(g o f) = ^tf o ^t g. En el lenguaje de la teoría de las categorías, tomar el dual de los espacios vectoriales y la transpuesta de funciones lineales es por lo tanto un funtor contravariante de la categoría de los espacios vectoriales sobre F a sí misma.

Los productos bilineales y los espacios duales

Como vimos arriba, si V es finito-dimensional, entonces V es isomorfo a V*, solamente que el isomorfismo no es natural y depende de la base de V con que comenzamos. De hecho, cualquier isomorfismo Φ de V a V* define un producto bilineal no-degenerado único en V por

$\langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \,$

y cada producto bilineal no-degenerado en un espacio finito-dimensional da lugar inversamente a un isomorfismo de V a V*.

Inyección en el doble-dual

Hay un homomorfismo natural Ψ de V en el doble dual V**, definido por (Ψ(v))(f) = f(v) para todo v en V, f en V*. Esta función Ψ es siempre inyectiva; es un isomorfismo si y solamente si V es finito-dimensional.

El espacio dual topológico

En el caso de espacios de dimensión finita, el dual topológico coincide con el dual algebraico y el concepto de dual topológico es trivial. Sin embargo, con espacios vectoriales de dimensión infinita el dual topológico generalmente es estrictamente más pequeño que el dual algebraico:

Al tratar con un espacio vectorial normado V (e.g., un espacio de Banach o un espacio de Hilbert), típicamente se está interesado solamente en los funcionales lineales continuos del espacio en el cuerpo. Éstos forman un espacio vectorial normado, llamado el dual continuo o dual topológico de V, a veces llamado solamente el dual de V. Es denotado por V' . La norma $\|\cdot\|$ de una funcional lineal continua en V es definida por:

$\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \} \,$

Donde sup  denota el supremo de un conjunto.

La definición anterior convierte al dual continuo o topológico en un espacio vectorial normado, de hecho en un espacio de Banach. Uno puede también hablar del continuo de un espacio vectorial topológico arbitrario. Esto es sin embargo mucho más duro de tratar de puesto que en general no será un espacio vectorial normado de ninguna manera natural.

La definición anterior puede generalizarse un poco, dado un espacio vectorial topológico V se define el espacio dual topológico como el subespacio del dual algebraico formado por funciones continuas respecto a la topología de V.

Ejemplos

• Para cualquier espacio vectorial normado o espacio vectorial topológico finito-dimensional, tal como el espacio euclidiano n-dimensional, el dual continuo y el dual algebraico coinciden.
• Sea 1 < p < ∞ un número real y considere el espacio de Banach [[l^p]] de todas las secuencias a = (a_n) para las que

$\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}$

es finito. Defínase el número q por 1/p + 1/q = 1. Entonces el dual continuo l^p se identifica naturalmente con l^q: dado un elemento φ de (l^p)', el elemento correspondiente de l^q es la secuencia (φ(e_n)) donde e_n denota la secuencia cuyo término n-ésimo es 1 y todos los demás son cero. Inversamente, dado un elemento a = (a_n ) ∈ l^q, el funcional lineal continuo correspondiente φ en l^p es definido por φ(b) = Σ_n a_n b_n para toda b = (b_n) ∈ l^p (véase la desigualdad de Hölder).

• De una manera similar, el dual continuo de l¹ se identifica naturalmente con l^∞. Además, el dual continuo de los espacios de Banach c (que consisten en todas las series convergentes, con la norma del supremo) y c₀ (las secuencias que convergen a cero) son ambas identificadas naturalmente con l¹.
• Otro ejemplo interesante es el dual topológico de las funciones suaves de soporte compacto $C_0^\infty(\R^n)$ cuyo dual topológico son precisamente las distribuciones convencionales o funciones generalizadas.

Otras propiedades

Si V es el espacio de Hilbert, entonces su dual continuo es un espacio de Hilbert que es contra-isomorfo a V. Éste es el contenido del teorema de representación de Riesz, y da lugar a la notación bra-ket usada por los físicos en la formulación matemática de la mecánica cuántica. En analogía con el caso del doble dual algebraico, hay siempre un operador lineal continuo inyectivo naturalmente definido Ψ: V → V '' en su doble dual continuo V ''. Esta función es de hecho una isometría, significando ||Ψ(x)||=||x|| para todo x en V. Espacios para los cuales la función Ψ es una biyección se llaman reflexivos. El dual continuo se puede utilizar para definir una nueva topología en V, llamada la topología débil. Si el dual de V es separable, entonces así es el espacio V mismo. El inverso no es verdad; el espacio l¹ es separable, pero su dual es l^∞, que no es separable.