Espiral de Sacks


Espiral de Sacks

Espiral de Sacks

Espiral de Sacks, mostrando ciertos patrones que poseen los números primos.

La espiral de Sacks es una variante de la espiral de Ulam y fue descubierta en 1994 por Robert Sacks. Se diferencia de la espiral de Ulam por tres características: los puntos se ubican sobre una espiral de Arquímedes en vez de sobre una espiral cuadrada como utilizó Ulam, se ubica el cero en el centro del espiral, y se realiza un giro completo para cada cuadrado perfecto mientras que en la espiral de Ulam se ubican dos cuadrados cuadrados por giro o rotación. Algunas curvas que comienzan en el origen parecen tener una gran densidad de números primos; una de estas curvas por ejemplo contiene números del tipo n2 + n + 41, que es un famoso polinomio abundante en números primos que descubriera Leonhard Euler en 1774. Se desconoce hasta que punto las curvas de la espiral permiten predecir grandes números primos o compuestos.

Contenido

Construcción

La posición de cada número natural se representa mediante coordenadas polares por:

  • r = \sqrt{n}
  • a = \sqrt{n}

donde a representa un número de rotaciones, y no un ángulo en radianes ni en grados.

Algunas alineaciones de interés

  • Alineaciones libres de números primos:
    • Semirrecta horizontal derecha: cuadrados perfectos
    • Línea inmediatamente inferior: números de la forma n2 - 1, divisibles siempre por n+1 y n-1
    • Semirrecta horizontal izquierda: números de la forma n2 + n, divisibles siempre por n y n+1.
  • Curvas aparentemente densas en números primos:
    • Una espiral que, en la ilustración, termina cerca de la parte inferior del disco: números de la forma n2 + n + 41, el polinomio descubierto por Euler.
    • Otra espiral situada 24 lugares por encima de la anterior: números de la forma n2 + n + 17
    • Línea inmediatamente superior a la semirrecta horizontal izquierda: números de la forma n2 + n - 1

Referencias

  • Hahn, Harry K. (2008), The distribution of prime numbers on the square root spiral, ArXiv 0801.1441 

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Enlaces externos

Obtenido de "Espiral de Sacks"

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