Exponencial de matrices

Exponencial de matrices

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La exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas, parecida a la función exponencial. Sea X una matriz nxn de números reales o complejos. La exponencial de X denotada por e^X o exp(X) es la matriz nxn dada por la serie de potencias

$e^X = \sum_{k=0}^\infty \frac{X^k}{k!}.$

Esta serie converge para toda matriz X. Obsérvese que si la matriz X es una matriz 1x1 la exponencial de X corresponde con la exponencial ordinaria.

Propiedades

Sean X e Y dos matrices nxn, a y b dos números complejos cualesquiera. Denotemos con I a la matriz identidad y con 0 la matriz nula. Entonces

1. Matriz identidad: $e^0 = I\,$.
2. Linealidad: $\exp(a\,X)\exp(b\,X) = e^{(a+b)\,X}$.
3. $\exp(X)\,\exp(-X) = I$. Esta es consecuencia de las dos anteriores.
4. Matriz inversa: $(e^A)^{-1} = e^{-A}\;$ consecuencia de la anterior.
5. Relación traza-determinante: $\det e^X = e^{tr X}\,$.
6. $\exp{X^\dagger} = (\exp X)^\dagger$, donde $X^\dagger$ denota la transpuesta de la matriz X.
7. Preservación de la comuntación: Si $X\,Y = Y\,X$ entonces $e^X\,e^Y = e^{X+Y} = e^Ye^X$.
8. Si $Y\,$ es invertible entonces $e^{YXY^{-1}} = Y\,e^X\,Y^{-1}$.
9. Acotación de la norma: $\|e^A\| \le e^{\|A\|}$

Se sigue que si X es simétrica, entonces su exponencial también lo es. Si X es antisimétrica su exponencial es ortogonal.

• $\exp(X^*) = (\exp X)^*\,$ donde $X^*\,$ denota la conjugada transpuesta de X.

Se sique que si X es hermítica entonces su exponencial también lo es. Si X es antihermítica entonces su exponencial es unitaria.

Cálculo de la exponencial de matrices

Matrices diagonales y diagonalizables

Si una matriz A es diagonal:

$A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix},$

entonces su exponencial se obtiene tomando las exponenciales de cada uno de los elementos de la diagonal principal:

$e^A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.$

Una matriz $M\;$ es diagonalizable entonces:

$M = P^{-1} D P\;$

Donde $D\;$ es una matriz diagonal y es un matriz no singular $P\;$ puede elegirse como una matriz unitaria. La exponenciación de matrices diagonalizables puede reducirse al caso de la exponencial de una matriz diagonal, sin más que usar la propiedad 5 mencionada arriba tenemos:

$e^M = P^{-1} e^D P\;$

Matrices que admiten forma de Jordan

La exponencial de una matriz que tiene de bloque de Jordan es muy sencilla:

$B_J = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda\end{bmatrix} \Rightarrow \qquad e^{B_J} = \begin{bmatrix} e^\lambda & \frac{e^\lambda}{1!} & \frac{e^\lambda}{2!} & \cdots & \frac{e^\lambda}{(n-1)!}\\ 0 & e^\lambda & \frac{e^\lambda}{1!} & \cdots & \frac{e^\lambda}{(n-2)!}\\ 0 & 0 & e^\lambda & \cdots & \frac{e^\lambda}{(n-3)!}\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & e^\lambda \end{bmatrix}$

Se dice que una matriz $M\;$ admite forma canónica de Jordan $J\;$ cuando existe otra matriz no singular tal que:

$M = P^{-1} J P\;$

Siendo $J\;$ una matriz triangular formada por bloques de Jordan (es decir, cuya diagonal principal contiene los autovalores de $M\;$ y sólo la diagonal superior a la principal tiene algunos "1"). En ese caso la exponencial

$M=P^{-1}J P \to e^M = e^{P^{-1}J P} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(P^{-1}J P)^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{P^{-1}(J)^k P}{k!} = P^{-1}e^{J}P$

Aplicaciones

• Dado un sistema de sistema de ecuaciones diferenciales lineal con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

$\begin{cases} \dot\mathbf{X}(t) = \mathbf{A}\mathbf{X}(t)+\mathbf{f}(t) \\ \mathbf{X}(t_0) = \mathbf{X}_0 \end{cases}$

Donde $\mathbf{X}(t)$ representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

$\mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{X}_0 + \int_{t_0}^t e^{\mathbf{A}(t-s)}\mathbf{f}(s)\ ds$

Véase también

• Exponenciación
• Logaritmo de una matriz

Obtenido de "Exponencial de matrices"