Extensión simple

Extensión simple

Saltar a navegación, búsqueda

En la teoría de cuerpos (una rama del álgebra), una extensión simple es una extensión de cuerpos L:K de manera que L está generado por un solo elemento.

Construcción

Sean L y K dos cuerpos de manera que L es extensión de K. Se define la extensión generada por α sobre K como el conjunto $K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x]\}$.

• Todo elemento de K[x] está también en L[x], y como $\alpha \in L$, si $f \in K[x]$ entonces $f(\alpha) \in L$. Si $g \in K[x]$ entonces es $g(\alpha) \in L$, y si $g(\alpha) \neq 0$, existe $g(\alpha)^{-1} \in L$. Así pues, $\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}:= f(\alpha) \cdot g(\alpha)^{-1} \in L$ y es $K(\alpha) \subset L$.

• Definimos las operaciones suma y producto en K(α) como las restricciones a K(α) de las operaciones del cuerpo de cocientes de L, i.e., si $\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)},\frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \in K(\alpha)$ , definimos $\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} + \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)}:= \frac{f(\alpha)q(\alpha)+p(\alpha)g(\alpha)}{g(\alpha)q(\alpha)}$ y

$\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} \cdot \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} := \frac{f(\alpha)\cdot p(\alpha)}{g(\alpha)q(\alpha)}$. Por ser K[x] un anillo y L un cuerpo, es sencillo demostrar que la suma y el producto así definidos en K(α) son operaciones internas en K(α).

• Como L es cuerpo, en particular es dominio de integridad, y por la Propiedad Universal del Cuerpo de Cocientes de un Dominio Íntegro, el cuerpo de cocientes de L es Q(L) = L (el menor cuerpo que contiene a L es el propio L). Así se demuestra que K(α), con las operaciones así definidas, es subcuerpo de L.

• Para comprobar que $K \subset K(\alpha)$, basta con tomar el cociente $\frac{a(\alpha)}{1(\alpha)}=\frac{a}{1}=a$ para cada $a \in K$ (donde identificamos $a \in K$ con el polinomio constante $a(x)=a \in K[x]$). Además, como las operaciones en L son las extensiones de las operaciones en K, es inmediato que K es subcuerpo de K(α).

• Tomando el polinomio $x \in K[x]$, entonces es $\alpha = \frac{\alpha}{1}=\frac{x(\alpha)}{1(\alpha)}$, luego $\alpha \in K(\alpha)$.

Todo esto demuestra que K(α) es una extensión de K y subcuerpo de L.

• Sea ahora una extensión E de K de forma que $\alpha \in E$. Como $K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x]\}$ y $K \subset E$, si $f,g \in K[x]$, entonces $f,g \in E[x]$, y como $\alpha \in E$, entonces $f(\alpha), g(\alpha) \in E$. Por último, como E es cuerpo, si $g(\alpha) \neq 0$, entonces existe $g(\alpha)^{-1} \in E$ y $\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} \in E$, luego $K(\alpha) \subset E$.

Queda entonces demostrado que K(α) es la menor extensión de K que contiene a α.

A este proceso se le denomina a veces adjunción de un elemento α a un cuerpo K.

Definición de extensión simple

Sea L:K una extensión. Se dice que L es extensión simple sobre K si existe un $\alpha \in L$ de manera que L = K(α).

Observaciones

Una extensión simple K(α):K puede ser algebraica o trascendente, dependiendo de si α es un elemento algebraico o trascendente sobre K.

Si α es trascendente, entonces el grado [K(α):K] de la extensión es infinito.

Si α es algebraico, entonces el grado [K(α):K] de la extensión es finito. En concreto, $[K(\alpha):K] = deg(m_{\alpha}^k)$, siendo $m_{\alpha}^K$ el polinomio mónico irreducible de α sobre K. Se deduce que toda extensión simple que sea algebraica es de grado finito.

Teorema del elemento primitivo

Toda extensión finita y separable es simple.

Obtenido de "Extensi%C3%B3n simple"