Fibrado cotangente


Fibrado cotangente

Fibrado cotangente

En geometría diferencial, el fibrado cotangente de una variedad es la unión de todos los espacios cotangente en cada punto de la variedad.

Contenido

Uno-formas

Artículo principal: 1-forma

Las secciones diferenciables del fibrado cotangente son uno-formas diferenciales, también se llaman formas de Pfaff o formas pfaffianas.

El fibrado cotangente como espacio de fase

Forma simpléctica

El fibrado cotangente tiene una 2-forma simpléctica canónica en él, como derivada exterior de la uno-forma canónica.

La uno-forma asigna a un vector en el fibrado tangente del fibrado cotangente la aplicación del elemento en el fibrado cotangente (una funcional lineal) a la proyección del vector en el fibrado tangente (el diferencial de la proyección del fibrado cotangente a la variedad original). Probar que la derivada exterior de esta forma es simpléctica puede ser hecho observando que el ser simpléctico es una propiedad local: puesto que el fibrado cotangente es localmente trivial, esta definición necesita solamente ser comprobada en Rn × Rn. Pero allí la uno forma definida es la suma de yidxi, y el diferencial es la forma simpléctica canónica, la suma de dyidxi.

El espacio de fase

Si la variedad M representa el conjunto de posiciones posibles en un sistema dinámico, entonces el fibrado cotangente de T*M se puede pensar como el conjunto de posible posiciones y momentos. Por ejemplo, esto es una manera fácil de describir el espacio de fase (no trivial) de un péndulo esférico tridimensional: una bola masiva obligada a moverse a lo largo de una 2-esfera. La construcción simpléctica antedicha, junto con una función apropiada de energía, da una determinación completa de la física del sistema. Vea mecánica hamiltoniana para más información.

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