Fórmula de Herón

Triángulo de lados a, b, c.

En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c:

$\acute{A} = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

donde s es el semiperímetro:

$s = \frac{a+b+c}{2}$

La fórmula puede reescribirse de la siguiente forma:

$\acute{A} = {\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}\,$

Ejemplo

Un triángulo con lados 3, 25 y 26 tiene semiperímetro (3 + 25 + 26)/2 = 27. Así, su área es $\acute{A} = \sqrt{27 \cdot 24 \cdot 2 \cdot 1}=36$.

Demostración

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Sea un triángulo de lados a, b, c, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son $\widehat A, \widehat B, \widehat C.$ Entonces, por el teorema del coseno:

$\cos \widehat C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

De la identidad pitagórica

$\sin^2 \widehat C +\cos^2 \widehat C = 1$

se obtiene:

$\sin \widehat C = \sqrt{1-\cos^2 \widehat C} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$.

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud $b \cdot \sin \widehat C$

$\begin{align} \acute{A} & = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura}) \\ & = \frac{1}{2} ab\sin \widehat C \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)} \\ \end{align}$

Como $2s = a+b+c \,$, se llega finalmente a:

$\acute{A} = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.$

Estabilidad numérica

La fórmula de Herón dada más arriba es numéricamente inestable para triángulos de ángulos muy pequeños (como ocurre frecuentemente en astronomía). Una alternativa numéricamente más estable^[1] implica reordenar las longitudes de los lados de modo que a ≥ b ≥ c, y luego realizar el computo con acuerdo total a la siguiente forma reordenada, de la fórmula de Herón:

$\acute{A} = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.$

En la fórmula precedente los paréntesis son absolutamente necesarios para evitar la inestabilidad numérica en la evaluación.

Generalizaciones

Desigualdad triangular, $\{a,b,c\}\in\mathbb{R^+}$.

La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo del área de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular área de un cuadrilátero.

Expresando parte de la fórmula de Herón (sólo los términos internos a la raíz) de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados (más precisamente, el valor absoluto del determinante), obtenemos:

$\acute{A}=\frac{1}{4} \sqrt{\left|{det \begin{bmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\right|}$

Donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y A será el área del mismo. Hay que asegurarse que los datos a, b y c que se proveen al determinante cumplan con la desigualdad triangular (véase figura), de lo contrario no se trataría de un triángulo y en ese caso el determinante daría resultados positivos o cero pero erróneos. Por otra parte con datos que si cumplan con la desigualdad triangular el determinante da siempre resultados negativos (no necesariamente erróneos pero inapropiados dentro de una raíz) por lo cual es necesario tomar el valor absoluto del determinante que está dentro de la raíz, de lo contrario obtendríamos resultados complejos.

Así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados. Tartaglia halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Los determinantes de Cayley-Menger generalizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.

Notas y referencias

1. ↑ W. Kahan Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle

Enlaces externos

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Weisstein, Eric W. «Fórmula de Herón» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.