Función armónica


Función armónica

En matemáticas, sea f : DR (donde D es un subconjunto abierto de Rn) una función real de n variables, se la llama armónica en D si sobre D tiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden y satisfacen la ecuación de Laplace


\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} +
\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} +
\cdots +
\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0

en D. Esto se suele escribir como

\nabla^2 f = 0 o también como \ \Delta f = 0.

Contenido

Ejemplos

Ejemplos de funciones armónicas de dos variables

definida en R2 \ {0} (asi como lo es por ejemplo el potencial eléctrico debido a una carga en línea, y el potencial gravitatorio debido a una masa cilíndrica)


Ejemplos de funciones armónicas de n variables


Conexiones con el análisis de funciones complejas de variable compleja

La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa son funciones armónicas. Esto se deriva de que toda función holomorfa verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En tal caso se dice que son armónicas conjugadas.

Propiedades de las funciones armónicas

Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la ecuación de Laplace.

El teorema de regularidad para las funciones armónicas

Las funciones armónicas son infinitamente derivables. De hecho, son funciones analíticas.

El principio del máximo

Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio del máximo (conocido como el principio débil del máximo): si K es cualquier subconjunto compacto de D, entonces f, en K, alcanza sus máximo y mínimo en la frontera de K.

Si además D es conexo, se tiene que f no puede tener máximos o mínimos locales, excepto si f es constante (conocido como el principio fuerte del máximo).

El teorema de la media aritmética

El teorema recibe otros nombres como propiedad de la media de las funciones armónicas. Establece que si tenemos una función armónica definida en una bola, podemos determinar el valor de la función en el centro de la bola a partir de la media de los valores de la función en su superficie. Es más:

Si B(x,r) es una bola de centro x y radio r contenida completamente en D, entonces el valor de f(x) en el centro de la bola está dado por el valor medio de f en la superficie de la bola; este valor medio es también igual al valor medio de f en el interior de la bola. En otras palabras


  u(x) = \frac{1}{\omega_n r^{n-1}}\oint_{\partial B(x,r)} u \, dS
       = \frac{n}{\omega_n r^n}\int_{B (x,r)} u \, dV

donde ωn es el área de la superficie de la bola unidad en n dimensiones.

El terorema de Liouville

Si f es una función armónica definida en todo Rn que está acotada superior o inferiormente, entonces f es constante.


Ejemplos de funciones armónicas

Sobre el círculo unidad

Una función continua sobre el círculo unidad que además sea armónica en el interior de dicho círculo queda determinada por los valores que toma la función sobre el círculo unidad:

u(r,\theta) = \int_{S^1} \frac{1-r^2}{1-2\cos \theta +r^2}f(\theta)\ d\theta

donde:

f(\theta)= u(1,\theta)\,

Sobre la esfera unidad

La construcción anterior mediante el núcleo de Poisson puede extenderse al caso de una n-esfera:

u(\mathbf{x}) = \int_{S^n} \frac{1-\|x\|^2}{\|\mathbf{x}-\boldsymbol{\zeta}\|^n}
f(\boldsymbol{\zeta})\ d^n\boldsymbol{\zeta}


Función subarmónica

Una función sub-armónica sobre un dominio \scriptstyle \Omega es una función \scriptstyle u continua sobre ese dominio que satisface la propiedad de ser inferior a su valor medio sobre un contorno cerrado. Esa condición se satisface si para cada \scriptstyle a\in \Omega existe una bola cerrada \scriptstyle \bar{B}(a,R)\subset \Omega de centro \scriptstyle a y radio \scriptstyle R tal que:

u(a) \le \int_{S^{n}} u(a+r\zeta)\ d\sigma(\zeta)

siempre que \scriptstyle 0 < r \le R, siendo \scriptstyle S^n la n-esfera unidad y \scriptstyle \zeta \in S^n.

Véase también

Referencias

  • L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
  • D. Gilbarg, N. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. ISBN 3-540-41160-7.
  • Q. Han, F. Lin, 2000, Elliptic Partial Differential Equations, American Mathematical Society

Enlaces externos


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