Función discontinua


Función discontinua

Función discontinua

Una función es una función discontinua si no es continua en un punto evaluado.

Contenido

Clasificación de la discontinuidad de una función

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:


   Discontinuidad
   { \color{Red}
   \left \{
      \begin{array}{l}
         Evitable \\
         Esencial
            { \color{PineGreen}
            \left \{
               \begin{array}{l}
                  De \; primera \; especie
                  { \color{Blue}
                  \left \{
                     \begin{array}{l}
                        De \; salto \; finito \\
                        De \; salto \; infinito
                     \end{array}
                  \right .
                  }\\
                  
                  \\
                  De \; segunda \; especie
               \end{array}
            \right .
            } \\
      \end{array}
   \right .
   }

Evitable

Cuando existe el \lim_{x \to a} f(x) = l con l \in \real pero no coincide con el valor de f (a) ya sea porque son distintos los valores o no existe f (a).

Ejemplo 1:
Dada  f(x) = \frac {x^2-4} {x-2} no existe f(2) pero si existe
 \lim_{x \to 2}f(x) = \frac {x^2-4} {x-2} = 4

Esencial

Cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

  1. Existen los límites laterales pero no coinciden.
  2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
  3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.
De primera especie o de salto
Con salto finito

Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

Signum.png
\lim_{x \to a^+} f(x) \ne \lim_{x \to a^-} f(x)
Ejemplo: La función signo

   \sgn (x) = 
   \left\{
      \begin{array}{rl}
         1, & \mbox{si }x > 0 \\ 
         0, & \mbox{si }x = 0 \\ 
        -1, & \mbox{si }x < 0 
     \end{array}
   \right.
 \lim_{x \to 0^-} \sgn(x) = -1
 \lim_{x \to 0^+} \sgn(x) =  1

y además:

 \sgn(0) = 0 \,
Con salto infinito (asíntota)

Cuando alguno de los límites laterales o ambos no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

Función Continua 033.svg
\lim_{x \to a} f(x) = \infty
Ejemplo:
 
   \lim_{x \to 0} \frac {1}{x} = 
   \frac {1}{0} = 
   \infty
De segunda especie
Función Continua 044.svg

Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.

Ejemplo: la función Raíz cuadrada:  y = \sqrt {x}

Véase también

Obtenido de "Funci%C3%B3n discontinua"

Wikimedia foundation. 2010.

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