Función unitaria de Heaviside


Función unitaria de Heaviside

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

H(x) = u(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Propiedades

  • Cambio de signo del argumento.
H(-x) = 1-H(x)\,
H'(x-a) = \delta(x-a)\,
 \mathcal{L}\{ H(x-a) \}(s) = \frac{e^{-as}}{s}
  • Definición como límite de otras funciones.
H(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{e^{-nx}+1}
H(x) = \lim_{t\to 0} \left (\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan \frac{x}{t} \right )
  • Es la integral de la función delta de Dirac.
 H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)}  dt
función escalón considerando H(0) = 1/2.

El valor de H(0) es convencional. La mayoría de autores lo definen como H(0) = 1, otros H(0) = 0. Algunos que lo definen como H(0) = 1/2, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

 H(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}

 H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la siguiente forma:

 H_n(x) =
  \begin{cases} 0, & x < 0
             \\ n, & x = 0
             \\ 1, & x > 0
  \end{cases}

Una forma de representar esta función es a través de la integral

H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\epsilon} e^{-i x \tau} d\tau

Véase también

Enlaces externos


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