Funciones de Weierstrass

En el ámbito de las matemáticas, las funciones de Weierstrass son un conjunto de funciones especiales de variable compleja que son auxiliares a la función elíptica de Weierstrass. Han sido nombradas en honor al matemático Karl Weierstrass.

Función sigma de Weierstrass

La función sigma de Weierstrass asociada a una grilla bidimensional $\Lambda\subset\Complex$ se encuentra definida por el producto

$\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}$

donde:

$\Lambda^{*}\,$ denota el conjunto $\Lambda-\{ 0 \}\,$

Función zeta de Weierstrass

La función zeta de Weierstrass se encuentra definida por la suma

$\zeta(z;\Lambda)=\frac{\sigma'(z;\Lambda)}{\sigma(z;\Lambda)}=\frac{1}{z}+\sum_{w\in\Lambda^{*}}\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{w}+\frac{z}{w^2}\right).$

Notar que la función zeta de Weierstrass es basicamente la derivada logarítmica de la función sigma. La función zeta puede ser re-escrita como:

$\zeta(z;\Lambda)=\frac{1}{z}-\sum_{k=1}^{\infty}\mathcal{G}_{2k+2}(\Lambda)z^{2k+1}$ donde $\mathcal{G}_{2k+2}$ es la serie de Eisenstein de peso 2k + 2.

También es interesante notar que la derivada de la función zeta es $\scriptstyle -\wp(z)$, donde $\scriptstyle \wp(z)$ es la función elíptica de Weierstrass.

No debe confundirse la función zeta de Weierstrass con la función zeta de Riemann de la teoría de números.

Función eta de Weierstrass

La función eta de Weierstrass está definida por la expresión

$\eta(w;\Lambda)=\zeta(z+w;\Lambda)-\zeta(z;\Lambda), \mbox{ para todo } z \in \Complex$

Se puede demostrar que está bien definida, o sea ζ(z + w;Λ) − ζ(z;Λ) solo depende de w. No se debe confundir la función eta de Weierstrass con la función eta de Dedekind.

Función p de Weierstrass

La función p de Weierstrass está definida por la expresión

$\wp(z;\Lambda)= -\zeta'(z;\Lambda), \mbox{ para todo } z \in \Complex$

La función p de Weierstrass es una función par elíptica de órden N=2 con un único polo doble en cada grilla.