Funciones de parte entera

Funciones de parte entera

En matemática, las funciones de parte entera son aquellas funciones:

 f: \mathbb{R} \rarr \mathbb{Z}

que toman un número real y devuelven un número entero mayor o menor a ese número. Las funciones más conocidas son la función piso[1] y la función techo.[2]

Contenido

Función techo

Función techo.

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero k no inferior a x:

 \lceil x \rceil =\min\{k\in\mathbb{Z}\mid x\le k\}

O de otra forma:


   y = \lceil x \rceil : \quad
   y = \big \{ y : \quad y \in \mathbb{Z} \quad \land \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad y-1 < x \le y \big \}

Propiedades

  • Para cualquier número real se cumple que \lceil x \rceil \ge x.
  • El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.

x\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow  \lceil x \rceil = x

  • La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos.
  • La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto de los enteros:

\int_{\epsilon}^{x+\epsilon} \delta(1-\chi_\mathbb{Z}(y))  dy =  \lceil x \rceil, \qquad 0 < \epsilon < 1

Ejemplos

Para un número real no entero:

 \lceil 2.3 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid 2,3\le k\} = 3
 \lceil -2.3 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid -2,3\le k\} = -2

Para un número entero:

 \lceil 2 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid 2\le k\} = 2
 \lceil -2 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid -2\le k\} = -2

Función piso

Función piso.

La función piso se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero k no superior a x:

\lfloor x \rfloor=\max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le x\}

Que se puede expresar:


   y = \lfloor x \rfloor : \quad
   y = \big \{ y : \quad y \in \mathbb{Z} \quad \land \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad y \le x < y+1 \big \}

Propiedades

El número real x al que se aplica la función piso es un número entero si y sólo si la función piso de x tiene el mismo valor que x.

x\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow  \lfloor x \rfloor= x

Ejemplos

Para un número real no entero:

 \lfloor 2.3 \rfloor= \max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le 2,3\} = 2
 \lfloor -2.3 \rfloor= \max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le -2,3\} = -3

Para un número entero:

 \lfloor 2 \rfloor = \max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le 2\} = 2
 \lfloor -2 \rfloor = \max\{k\in\mathbb{Z}\mid k\le -2\} = -2


Serie de expansión para la función piso, techo y parte entera

La función piso no es continua, y por lo tanto no tiene un expansión en serie de Taylor; como no es periódica, tampoco tiene una expansión en serie de Fourier. Sin embargo, la función \{x\}:=x-\lfloor x \rfloor, llamada función de parte decimal, fraccionaria o función mantisa, es periódica, y por lo tanto tiene una expansión en serie de Fourier, que es:

\{x\}= \frac{1}{2} -  \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)} {k}.

Usando la expresión \{x\}:=x-\lfloor x \rfloor podemos saber la expansión de la función \lfloor x \rfloor :

 \lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.

Teniendo en cuenta que: \lceil x\rceil=-\lfloor -x\rfloor, entonces la expansión de serie de la función techo sería:

\lceil x\rceil= x + \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.

Y por último, para la función de parte entera en el lenguaje C, se utilizará la siguiente expresión \mbox{int}(x)=\lfloor |x|\rfloor \sgn(x); entonces quedaría:

\mbox{int}(x) = x - \frac{\sin(x)}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.

Función parte entera

Función parte entera en el lenguaje de programación C.

La función parte entera en el lenguaje de programación C es una función compuesta de la función piso[3] y techo,[4] se define de la siguiente manera:

\operatorname{int}(x)=[x] = \begin{cases} \mathrm{si \ \ } x\ge 1 \quad  & [x]=\lfloor x \rfloor \\ 
\mathrm{si \ \ } -1< x< 1 \quad & [x]=0 \\
\mathrm{si \ \ } x \le -1 \quad & [x]= \lceil x \rceil
\end{cases}

Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.

Véase también

Notas y Referencias

  1. Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa de la función piso llamada generalmente floor o Floor
  2. Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa de la función techo llamada generalmente ceil o Ceil
  3. «C++ reference of floor function». Consultado el 24 de abril de 2011.
  4. «C++ reference of ceil function». Consultado el 24 de abril de 2011.

Enlaces externos


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