Función racional

Este artículo trata sobre el concepto matemático. Para la «capacidad de razonar», véase Racionalidad.

Función racional de grado 2:

$y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4}$

Función racional de grado 3:

$y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)}$

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.^[1]

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos

Función homográfica:

$f(x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.^[2]

Propiedades

• Toda función racional es de clase $C^\infty$ en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
• Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Integración de funciones racionales

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Dada una función racional:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$

Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma:

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la intergración.

Véase también

• Fracción parcial
• Asíntota

Referencias

1. ↑ Engler, Müller, Vrancken, Hecklein. Funciones. Universidad Nacional del Litoral. http://books.google.com/books?id=h-0_p5lOGjcC&lpg=PA1&hl=es&pg=PA179#v=onepage&q&f=false. 
2. ↑ Pedro Pérez Carreras. Cálculo infinitesimal. Universidad Politécnica de Valencia. http://books.google.com/books?id=XGrILRo8GmsC&lpg=PA58&dq=funci%C3%B3n%20homogr%C3%A1fica&hl=es&pg=PA58#v=onepage&q=funci%C3%B3n%20homogr%C3%A1fica&f=false.