Función real


Función real

Una función real f\, es una función matemática cuyo dominio y codominio están contenidos en \mathbb{R}, es decir, es una función:

f:S\subseteq\mathbb{R}\rightarrow S'\subseteq\mathbb{R}

En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando están representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas, que son siempre discontinuas.

Contenido

Álgebra de las Funciones (con valores) Reales

Sea X un conjunto cualquiera no vacío y sea {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) el conjunto formado por todas las funciones de X en \mathbb R. Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) , como veremos a continuación.

Sean f,g: X \rightarrow {\mathbb R} elementos de {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) . Definimos operaciones entre esas funciones, punto a punto por

  • f+g: x \mapsto f(x) + g(x) Suma de Funciones.
  • f-g: x \mapsto f(x) - g(x) Resta de Funciones.
  • fg: x \mapsto f(x)g(x) Producto de Funciones.

También, podemos extender relaciones punto a punto.

  • f<g \iff \forall x, f(x) < g(x).

La manera en que hicimos la extensión, garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) . Indicamos a continuación aquellas más importantes.

  • La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante x \mapsto 0, con opuesto aditivo -f:x \rightarrow -f(x)\, para cada función f.
  • La resta es tal que fg: = f + ( − g).
  • La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante x \mapsto 1, pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.
  • La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Note que todas las anteriores propiedades son análogas a propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Cuando el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) . En efecto, supongamos que X = {a,b} y definamos f,g:X \rightarrow {\mathbb R} tales que f(a) = 1,f(b) = 0 y g(a) = 0yg(b) = 1. Se ve, inmediatamente, que fg es la función constante 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.

El conjunto {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

  • Sea X=\{1,2\}\,. Entonces, cada función de {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) define una pareja de números f(1),f(2) que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado (f(1),f(2)). Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con {\mathbb R}^2.
  • Sea X=\{1,2,3\}\, Razonado como arriba, podemos identificar a {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) con {\mathbb R}^3.
  • Sea X=\{1,2,3, \ldots, n\} Razonado como arriba, podemos identificar a {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) con {\mathbb R}^n.

Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, duplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.

  • Sea X = {\mathbb N}, los Naturales. En este caso, {\mathcal F}(X,{\mathbb R}) es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto como la suma y multiplicación usual de sucesiones.

Funciones Numéricas

Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales. En el resto del ártículo, funciones significará funciones numéricas. Muchas veces, para estas funciones, se da solamente la regla o fórmula de la función. En esa situación se aplica el convenio del dominio natural y se supone que el codominio (natural) consiste de todo \mathbb R \, .

Funciones acotadas

Decimos que una función f\, está acotada cuando su conjunto imagen está acotado. Es decir, hay un número M tal que para todo x del dominio de la función se cumple que

-M \le f(x) \le M\,.

Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen al intervalo [-1,1] y son, por lo tanto acotadas. Una función está acotada cuando su gráfica está entre dos líneas horizontales.

En forma análoga se define las nociones de función acotada superiormente y función acotada inferiormente, queriendo decir que su conjunto imagen está acotado superiroemente o inferiormente respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por conjunto imagen [0,+\infty[\;\!, por lo que la función está acotada inferiormente.

Funciones monótonas

Artículo principal: Función monótona
  1. Decimos que una función f es estrictamente creciente en el intervalo [a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2).
  2. Decimos que función f es estrictamente decreciente en [a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)
  3. Decimos que f es creciente en [a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)
  4. Decimos que f es decreciente en [a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)

Cuando una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores, decimos que es monótona.

Propiedades

  • Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.
  • La suma de funciones monótonas de un mismo tipos tiene el mismo tipo de monotonía. Lo anterior no es cierto ni para restas ni para productos.

Funciones pares e impares

Artículo principal: Función par
Artículo principal: Función impar

Decimos que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje Y (ordenadas), esto es, si para todo elemento x de su dominio se cumple que x también está en el dominio y

 f(-x) = f(x)\,

Decimos que una función es impar cuando presenta simetría respecto al origen, esto es, si para todo elemento x de su dominio se cumple que x también está en el dominio y

 f(-x) = -f(x)\,

Una función que no presenta simetría par, no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Propiedades

  • La suma de dos funciones pares o dos funciones impares es par.
  • El producto de función par por par o impar, da par.
  • Todas las otras combinaciones dan impar.

Funciones periódicas

Artículo principal: función periódica

Decimos función es periódica si se cumple: f(x) = f(x + T) ; T \neq 0\, donde T\, es un período de la función. El periodo es el menor de los periodos positivos, cuando exista tal número.

Los ejemplos clásicos son las funciones seno y coseno con periodos iguals a . Si int denota la función parte entera (que produce el mayor enetero menor o igual al argumento) entonces la función f tal que f(x) = xint(x) tiene periodo 1.

Una función es periódica alternada cuando se cumple: f(x) = -f\left(x + \frac{T}{2}\right)\,. Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas

Artículo principal: Función convexa
Artículo principal: Función cóncava

Una función f es convexa sobre un intervalo cuando el segmento que une dos puntos de la gráfica de f, siempre esta por encima o tocando la gráfica.

Una función f es estrictamente convexa sobre un intervalo cuando el segmento que une dos puntos de la gráfica de f, siempre esta por encima de la gráfica.


Una función f es cóncava (estrictamente cóncava) sobre un intervalo cuando f es convexa (estrictamente convexa).

Una función f es estrictamente convexa sobre un intervalo cuando el segmento que une dos puntos de la gráfica de f, siempre esta por encima de la gráfica.


La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones concava hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.


Las técnicas del análisis diferencial (Cálculo) permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Se verifica que una función es convexa estricta en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la gráfica de la función. Una función es cóncava estricta en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

Véase también


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