Función zeta de Hurwitz

En matemáticas, la función zeta de Hurwitz es una de las muchas funciones zetas. Se la define formalmente para un argumento complejo s y un argumento real q como

$\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s}.$

Esta sucesión es convergente para q > 0 y Re(s) > 1. Si q es un entero no-positivo se supone que los términos en la sucesión con denominador nulo no son considerados. Sin embargo, por lo general uno se limita a 0 < q ≤ 1, lo cual simplifica muchas de las fórmulas aplicables a esta función.

Notar que en realidad no hay nada que evite que la variable q sea compleja (en cuyo caso, Re(q)>0 es una restricción natural, aunque no sea una condición necesaria). Dicha extensión es necesaria para la fórmula de Schwinger para el ritmo de producción de pares de electrones (vide infra).

Extensión analítica

La función zeta de Hurwitz puede tener una extensión analítica a una función meromórfica definida para todos los números complejos s con s ≠ 1. En s = 1 posee un polo simple con residuo 1. El término constante ésta dado por

$\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] = \frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q)$

donde Γ es la función Gamma y ψ es la función digamma.

Representación de la sucesión

En 1930 Helmut Hasse encontró la representación en forma de sucesión convergente definida por q > −1 y para todo número complejo s ≠ 1:^[1]

$\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}.$

Esta sucesión converge uniformemente en un subconjunto compacto del plano s a una función entera. La suma interna debe ser comprendida como la n-ésima diferencia progresiva de q^{1 − s}; o sea,

$\Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s}$

donde Δ es el operador diferencia progresiva. Por lo tanto, es válido que

$\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n q^{1-s}$

$= \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}.$

Representación integral

La función posee una representación integral en función de la transformada de Mellin. La misma es:

$\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^{qt}\left(1-e^{-t}\right)}dt$

para $\Re s>1$ y $\Re q >0$.

Fórmula de Hurwitz

La fórmula de Hurwitz establece el siguiente teorema:

$\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]$

con

$\beta(x;s)= 2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}= \frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})$

es una representación del zeta que es válido para $0\le x\le 1$ y s > 1. Donde, Li_s(z) es el polilogaritmo.

Referencias

1. ↑ Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464.

• Tom M. Apostol Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (See Chapter 12)
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See Paragraph 6.4.10 for relationship to polygamma function.)
• Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (1999), 1623-1630.
• Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201--206.
• Linas Vepstas, Los Operadores Bernoulli, Gauss-Kuzmin-Wirsing, & Riemann Zeta