Función zeta de Ihara

La función zeta de Ihara tiene similaridades con la función zeta de Selberg, y es utilizada para relacionar el espectro de la matriz de adyacencia de un gráfico G a su característica de Euler.

Definición

La función zeta de Ihara fue inicialmente definida por una fórmula análoga al producto de Euler para la función zeta de Riemann:

$\zeta_{G}(u)^{-1} = \prod_{\mathrm{primos \ p}}(1-u^{d_{p}})$

Este producto se realiza sobre todos los pasos primos p del gráfico G, y d_p es la longitud del paso primo p.

Posteriormente fue demostrado que esta función zeta es en realidad siempre la recíproca de un polinomio, y que una fórmula para esta función zeta es

$\zeta_G(u) = \frac{1}{\det (I-Tu)}$

donde T es el operador de borde de adyacencia de Hashimoto.

Aplicaciones

La función zeta de Ihara desempeña un rol importante en el estudio de los grupos libres, teoría gráfica espectral, y sistemas dinámicos, especialmente dinámica simbólica.