Generador de un ideal

Sea A un dominio y X un subconjunto de A. Si I es el mínimo ideal de A tal que $X\subseteq I$, se dice que X es el generador del ideal I o, equivalentemente, que I es un ideal de A generado por X.

El ideal de A generado por el subconjunto X de A se denota comúnmente por

$~ (X)$

Cuando X es un conjunto finito, digamos $X=\{x_1,\ldots, x_n\}$, se dice que el ideal (X) es finitamente generado y se representa comúnmente por $(x_1,\ldots, x_n)$. En particular, si $~X=\{x\}$ (i.e. si X contiene un sólo elemento), se dice que (x) es un ideal principal de A.

Si A es un dominio tal que todos sus ideales son finitamente generados, entonces A es un anillo noetheriano, y recíprocamente. En particular, un anillo noetheriano cuyos ideales son todos principales se dice dominio de ideales principales (DIP).

Propiedades

Todo subconjunto X de un dominio A es el generador de algún ideal de A, pues siempre existe por lo menos un ideal que contiene a X (e.g. el propio dominio A). El ideal de A generado por X, (X), puede obtenerse explícitamente considerando que la intersección de cualquier familia de ideales es un ideal, y que, en particular, es el menor de todos ellos. Así,

(1) $(X)=\bigcap I_i$

donde cada I_i es un ideal tal que $X\subseteq I_i$.

Si X,Y son subconjuntos de A tales que $X\subseteq Y$, claramente $(X)\subseteq (Y)$

Un hecho que se deduce a partir de la definición de un ideal generado y de la de un ideal cualquiera es que

(2) $(X)=\{a_1x_1+\cdots+a_nx_n|n\in\mathbb{N},a_1\in A\ \mbox{y}\ x_i\in X\}$,

por lo que todo elemento de un ideal generado es una combinación lineal de los elementos de X, y se tiene así una forma de poner un ideal generado en términos de sus elementos. La ecuación (1) y la ecuación (2) pueden considerarse como definiciones equivalentes de ideal generado, aunque generalmente se usa (1) y de ahí se deduce fácilmente (2).