Inversión (geometría)

La inversión en el plano se usa en la resolución de algunos problemas de electrostática donde la simetría del problema así lo permite. En análisis complejo está relacionado con las transformaciones de Möbius. El concepto es usado en problemas de geometría euclídea y aparece de forma natural en geometría proyectiva.

Definición

Sea C una circunferencia con centro en O y radio r y sea A un punto diferente de O. La inversión de A respecto a C es el único punto B en el rayo que emana de O y pasa por A tal que: OA.OB = r².

Al punto O se le llama centro de inversión.

Es claro que la imagen del punto B en esta inversión es el punto A. Se dice que los puntos A y B son inversamente simétricos el uno del otro.

En la figura de la derecha, las circunferencias S1 y S2 son ortogonales, esto es las tangentes en los puntos de contacto son rectas perpendiculares.

La potencia de O respecto de la circunferencia S2 es igual a r². En particular, OA.OB = r².

• La imagen de cada punto de la circunferencia S2 es otro punto sobre la misma circunferencia. S2 es por tanto, invariante en la inversión. Más aún, toda circunferencia ortogonal a S1 es invariante en la inversión.

• Cada punto de la cirunferencia S1 es invariante en la inversión. Se dice que S1 es la circunferencia de puntos invariantes.

Imagen de una recta en una inversión

De la definición de inversión, está claro que toda recta que pase por el centro de inversión es invariante.

La imagen de toda recta que no pase por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Sea r una recta que no pase por el centro de inversion O. Sea P el pie de la perpendicular a r por el punto O y Q su imagen en la inversión. Sea A un punto arbitrario de r, distinto de P y sea B el pie de la perpendicular por el punto Q a la recta OA. Los triángulos OAP y OQB son semejanes y de las razones

$\frac{OA}{OQ} = \frac{OP}{OB}$

se sigue que

$OA\cdot OB = OQ\cdot OP$

y por tanto B es el simétrico de A en la inversión.

B es vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo cuyos lados pasan por los puntos O y Q. Como el lugar geométrico de estos vértices, cuyos lados pasan por un par de puntos fijos, es una circunferencia, cuyo diámetro está determinado por dichos puntos fijos, concluimos que la imagen de la recta r es la circunferencia de diámetro OQ.

Imagen de una circunferencia en una inversión

Sean s1 y s2 dos circunferencias (como en la figura). Sea H el centro de la homotecia positiva en la que la cirunferencia s2 es la imagen de la circunferencia s1. Sea t una de las tangentes comunes a las dos circunferencias (esta tangente, necesariamente pasa por el punto H). Denotemos con A y B los puntos de contacto de esta tangente con las circunferencia s1 y s2 respectivamente. El punto B es la imagen de A en la homotecia mencionada. Sea r una secante cualquiera a las circunfernecias por el punto H y sean C y D sus intersecciones con s1 y E y F sus intersecciones con s2. Puesto que el punto E es homotético del punto C, los ángulos HAC y HBE son congruentes. Como los lados del ángulo inscrito a la circunferencia s1 HDA, pasan por los puntos A y C, este ángulo es congurente con el ángulo HAC, semiinscrito a dicha circunferencia. Los triángulos HBE y HDA son congruentes^[1] y por tanto

$\frac{HB}{HD} = \frac{HE}{HA}.$

Por tanto,

$HA\cdot HB = HD\cdot HE$

De la ecuación anterior se sigue que el punto H puede considerarse como centro de inversión en la cual los puntos A y B son invérsamente simétricos el uno del otro. En esta inversión, los puntos D y E son uno imagen del otro. De manera semejante, se puede demostrar que los puntos C y F son inversamente simétricos en la mencionada inversión. Puesto que la secante r es arbitaria concluimos que

Las circunferencias s1 y s2 son inversamente simétricas en la inversión de centro H

Por otra parte, los puntos A, B, D y E son concíclicos, esto es se hallan sobre una circunferencia. Dicha circunferencia es invariante en la inversión y es por tanto ortogonal a la circunferencia de puntos invariantes (no mostrada en la figura). De aquí se sigue que

Si las rectas AD y BE se cortan (como en la figura), lo hacen sobre un punto P que se halla sobre el eje radical de las circunferencias s1 y s2.

En general, se puede demostrar que dos circunferencias no tangentes siempre se pueden considerar inversamente simétricas una de la otra.

Propiedades generales de la inversión

Las imágenes en una inversión mantienen algunas propiedades entre sí, aunque pierden otras. La inversión mantiene:

• Ángulos entre curvas
• Puntos de intersección entre curvas
• Puntos de tangencia entre curvas

Además, dado que la imagen de una circunferencia es otra circunferencia, y se mantienen los puntos de intersección, la imagen de una figura cíclica es también cíclica.

Las imágenes por inversión no mantienen:

• Proporciones.

Notas

1. ↑ Se dice que las rectas PA y PB son antiparalelas a las rectas HE y HB. La relación de antiparalelismo entre pares de rectas es recíproca.