Grado de una extensión

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Extensión de un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo.

Dada una extensión de cuerpos L:K, podemos pensar en L como en un espacio vectorial sobre el cuerpo K: en efecto, por definición de cuerpo, (L, + ) es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares \cdot: K \times L \longrightarrow L como una restricción a K \times L del producto en \cdot: L \times L \longrightarrow. De esta forma es inmediato que se cumple que:

  • a \cdot (\alpha + \beta)= (a \cdot \alpha) + (a \cdot \beta),
  • (a+b) \cdot \alpha = (a \cdot \alpha) + (b \cdot \alpha),
  • (a \cdot (b \cdot \alpha))= (a \cdot b) \cdot \alpha,
  • 1 \cdot \alpha = \alpha,

cualesquiera que sean a,b \in K y \alpha,\beta \in L. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en L y a que K \subset L, la tercera se debe a que el producto es asociativo en L, y la cuarta se debe a que K es subcuerpo de L, por lo que el elemento unidad de L es el elemento unidad de K.

Definición del grado de una extensión.

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de L como espacio vectorial sobre K, denotado por dimK(L). Se denomina grado de la extensión L:K a la dimensión de L como K-espacio vectorial: [L:K] = dimK(L).

Teorema de transitividad del grado.

Sea L una extensión de K, y sea E un subcuerpo de L que es a su vez extensión de K. Entonces se cumple que [L:K] = [L:E][E:K].

Demostración:

Sea \{l_i: i \in I\} una base del E-espacio vectorial L (es decir, consideramos L como un espacio vectorial sobre el cuerpo E, y obtenemos una base) y \{e_j:j \in J\} una base del K-espacio vectorial E. Sea l \in L un elemento arbitrario. Existirá una única combinación lineal (que será finita, nosotros consideramos aquí que los coeficientes de la combinación lineal son eventualmente nulos) de tal manera que l=\sum_{i \in I}\alpha_i \cdot l_i, siendo cada \alpha_i \in E. De la misma forma, existirá una única combinación lineal (cuyos coeficientes serán eventualmente nulos) de tal manera que tenemos que para cada i \in I es \alpha_i=\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j, siendo cada \beta_{i,j} \in K.

l=\sum_{i \in I}\alpha_i \cdot l_i = \sum_{i \in I}(\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j) \cdot l_i= \sum_{i \in I}\sum_{j \in J}\beta_{i,j} (\cdot e_j \cdot l_i).

Esto demuestra que \{e_j \cdot l_i: j \in J, i \in I\} es un sistema generador del K-espacio vectorial L.

Supongamos ahora que tenemos una combinación lineal 0=\sum_{i \in I}\sum_{j \in J}\beta_{i,j} (\cdot e_j \cdot l_i)= \sum_{i \in I}(\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j) \cdot l_i. Como \{l_i: i \in I\} es base del E-espacio vectorial L y \sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j \in E cualquiera que sea el i \in I, tenemos que ha de ocurrir que en cada i \in I sea \sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j=0. Ahora bien, como \{e_j:j \in J\} es base del K-espacio vectorial E, entonces ha de ser bi,j = 0, cualesquiera que sean el i \in I y el j \in J. Así pues, \{e_j \cdot l_i: j \in J, i \in I\} es una familia libre del K-espacio vectorial L, con lo cual es una base de L como K-espacio vectorial, y su cardinal es dim_K(L)=dim_E(L) \cdot dim_K(E).

Extensiones algebraicas y trascendentes.

El grado de una extensión resulta muy útil para determinar si una extensión es algrebraica o trascendente.

  • Si una extensión L:K es trascendente, existirá al menos un \alpha \in L \setminus K de manera que α sea un elemento trascendente sobre K. Así pues, K(\alpha) \subset L, luego [L:K]=dim_K(L)\geq dim_K(K(\alpha)). Pero como K(\alpha) \cong K(x) (por ser α trascendente sobre K), y por otro lado K[x] \subset K(x) (con lo que dim_K(K[x]) \leq dim_K(K(x))) y dim_K(K[x])= \infty, resulta que [L:K]=dim_K(L)\geq dim_K(K(\alpha))=dim_K(K(x)) \geq dim_K(K[x])) = \infty.

Concluimos que toda extensión trascendente tiene grado infinito, y que toda extensión de grado finito es algebraica. Ahora bien, puede ocurrir que una extensión de grado infinito sea algebraica.

  • Si [L:K] = 1, será entonces L = K. Si tomamos un elemento \alpha \in L\setminus K que sea algebraico sobre K, entronces existirá un polinomio mónico irreducible p=m_{\alpha}^K de manera que K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(p)}. Si deg(p) = n, entonces {1 + (p),x + (p),...,xn − 1 + (p)} es una base de \frac{K[x]}{(p)}, con lo cual [K(\alpha):K]= dim_K(K(\alpha))= dim_K(\frac{K[x]}{(p)})= n =deg(p)=deg(m_{\alpha}^K).
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