- Grupos de Klein
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Los grupos de Klein, llamados así por el matematico alemán Félix Klein, consisten en grupos de cuatro elementos donde cada elemento es inverso de sí mismo.
Representaciones del grupo
El grupo se puede ver de varias formas. La más general y las más conocida posiblemente, es de la siguiente forma: G = {e, a, b, ab}, donde e es la identidad, a y b otros dos elementos que al multiplicarlos generan el tercero. Vemos que a = a', b = b' y ab = (ab)', donde a', b' y (ab)' son los inversos de a, b y (ab) respectivamente. Tenemos entonces: (ab)' = ab => b'a' = ab , multiplicando por b por la izquierda ambos lados tenemos: => a' = bab , multiplicando por b por la derecha ambos lados y usando que b = b': => a'b = ba , pero a = a', entonces: => ab = ba. Así que el conjunto es cerrado bajo producto. Vemos además que el producto definido así es asociativo y que entonces es un grupo.
Otra forma de ver el grupo es como A4, el subgrupo de S4 que contiene a las permutaciones pares consistentes en dos transposiciones ajenas. Es decir: A4 = {id, (12)(34),(13)(24),(14)(23)}, es fácil ver que esto es un grupo y más aún, haciendo: a = (12)(34), b = (13)(24), es fácil ver que ab = [(12)(34)][(13)(24)] es en efecto: (14)(23). Se ve con un chequeo simple que:
a = a', b = b' y ab = (ab)', con a y b definidas de esta forma.
Finalmente podemos decir que algunos textos prefieren definir el grupo de Klein como la suma directa de Z2 con el mismo. donde Z2 es {0,1}, es decir el grupo cociente: Z/2Z, formado solo por dos clases de equivalencia.
De lo anterior se deduce que los tres grupos mostrados en los ejemplos son isomorfos.
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