Hipotenusa

Hipotenusa es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto. La medida de la hipotenusa puede ser hallada mediante el teorema de Pitágoras, si se conoce la longitud de los otros dos lados, denominados catetos.

Etimología

La palabra hipotenusa proviene del término griego ὑποτείνουσα, una combinación de hipo «debajo» y teinein «alargar».^[1] Otros autores sugieren que el significado original en griego fue debido a un objeto que soporta algo, o de la combinación de hipo «debajo» y tenuse «lado».^[2]

Propiedades de la hipotenusa

Teorema de Pitágoras:

• Establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Por lo cual:

$h = \sqrt { x^2 + y^2 }$

Donde h es la hipotenusa, y x y y los catetos.

En la figura, la hipotenusa es el lado a y los catetos son los lados b y c. La proyección ortogonal de b es m, y la de c es n.

Proyecciones ortogonales:

• La longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortogonales de ambos catetos.

• El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de su proyección ortogonal sobre la hipotenusa por la longitud de ésta.

b² = a · m

c² = a · n

También, la longitud de un cateto b es media proporcional entre las longitudes de su proyección m y la de la hipotenusa a.

a/b = b/m

a/c = c/n

Razones trigonométricas

Mediante razones trigonométricas se puede obtener el valor de los dos ángulos agudos, $\alpha\,$ y $\beta\,$, del triángulo rectángulo.

Conocida la longitud de la hipotenusa $c\,$ y la de un cateto $b\,$, la razón entre ambos es:

$\frac{b}{c} = \sin (\beta)\,$

Por tanto, la función trigonométrica inversa es:

$\beta\ = \arcsin\left(\frac {b}{c} \right)\,$

Siendo $\beta\,$ el valor del ángulo opuesto al cateto $b\,$.

El ángulo contiguo al cateto $b\,$, será $\alpha\,$ = 90º – $\beta\,$

También se puede obtener el valor del ángulo $\beta\,$ mediante la ecuación:

$\beta\ = \arccos\left(\frac {a}{c} \right)\,$

Siendo $a\,$ el otro cateto.

Véase también

• Teorema de Pitágoras
• Trigonometría
• Cateto
• Círculo unitario

Referencias

1. ↑ Schwartzman, Steven The Words of Mathematics, An Etymological Dictionary of Mathematical Terms used in English, Publicado por la Asociación de matemáticos de Estados Unidos. (En inglés)
2. ↑ Romping Through Mathematics, Anderson, Raymond. (1947) (en inglés)