Polinomio homogéneo

En Matemáticas, un polinomio homógeneo es un polinomio cuyo términos son monomios que tienen el mismo total de grados; o sus elementos son de la misma dimensión. Por ejemplo, x⁵ + 2x³y² + 9x¹y⁴ es un polinomio homogéneo de grado 5, en dos variables; la suma de los exponentes es siempre 5.

Una forma algebraica, o simplemente forma, es otro nombre para un polinomio homogéneo. Un polinomio homogéneo de grado 2 es una forma cuadrática, y puede ser representado como una matriz simétrica. La teoría de las formas algebraicas es muy extensa, y tiene numerosas aplicaciones en todas las otras matemáticas y ciencias teóricas.

Tensores simétricos

Los polinomios homogéneos en un espacio vectorial pueden ser construidos directamente a partir de tensores simétricos, y viceversa. Para espacios vectoriales en números reales o complejos, el sistema de polinomios homogéneos y los tensores simétricos son de hecho isomorfos. Este parentesco es usualmente expresados como sigue.

Siendo X e Y vectores espaciales, y T el mapa multinieal o tensor simétrico:

$\begin{matrix} T: & \underbrace{X \times X \times \cdots \times X} & \to & Y\\ & n & &\\ \end{matrix}$

Se define el operador diagonal Δ como:

$\begin{matrix} \Delta: & X &\to &X^n \\ & x &\mapsto &(x,x,\dots,x) \\ \end{matrix}$

El polinomio homogéneo $\widehat{T}$ de grado n asociado con T es simplemente $\widehat{T} = T \circ \Delta$, de modo que

$\widehat{T}(x) = (T \circ \Delta) (x) = T(x,x,\ldots,x)$

Escrito de esta manera, está claro que un polinomio homogéneo es una función homogénea de grado n. Esto, para un escalar a, uno tiene

$\widehat{T}(ax) = a^n \widehat{T}(x)$

Inversamente, dado un polinomio homogéneo P, uno puede construir el tensor simétrico correspondiente $\check{P}$, el cuál sigue inmediatamente una multilinearidad del tensor por medio de una fórmula polarizada:

$\check{P}(x_1,x_2,\cdots x_n) = \frac{1}{2^n n!} \sum_{\varepsilon_i=\pm 1 \atop 1\le i\le n} \varepsilon_1\varepsilon_2\cdots\varepsilon_n P\left(\sum_{i=1} \varepsilon_i x_i\right)$

$\mathcal{L}(X^n,Y)$ denota el espacio de tensores simétricos de rango n, y $\mathcal{P}(X,Y)$ denota el espacio de polinomios homogéneos de grado n. Si el vector espacial X e Y están encima de los números reales o complejos (o más generalmente, encima de un cuerpo de característica cero), luego esos dos espacios son isomórficos, con los mapeados dados por sombreros y comprobamos:

$\widehat{\;}: \mathcal{L}(X^n,Y) \to \mathcal{P}(X,Y)$

y

$\check{\;}: \mathcal{P}(X,Y) \to \mathcal{L}(X^n,Y)$

Forma algebraica

Forma algebraica, o simplemente forma, es otro termino para polinomios homogéneos. Estos se utilizan generalmente para formas cuadráticas a de grados 3 y más, y en el pasado también fueron conocidos como cuantos. Al especificar el tipo de forma, uno tiene que dar su grado de una forma, y el número de variables n. Una forma está encima de algún campo K dado, si este va de Kⁿ a K, donde n es el número de variables de la forma.

Una forma encima de algún campo K en n variables representa 0 si en él existe un elemento

(x₁,...,x_n)

en Kⁿ semejante que por lo menos de

x_i (i=1,...,n)

no es igual a cero.

Propiedades básicas

El número de diferentes monomios homogéneos de grado M en N variables es $\frac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

La serie de Taylor de un polinomio homogéneo P ampliado al punto x puede ser escrito como

$\begin{matrix} P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \check{P} ( &\underbrace{x,x,\dots ,x} & \underbrace{y,y,\dots ,y} ). \\ & j & n-j\\ \end{matrix}$

Otra identidad útil es

$\begin{matrix} P(x)-P(y)= \sum_{j=0}^{n-1} {n \choose j} \check{P} ( &\underbrace{y,y,\dots ,y} & \underbrace{(x-y),(x-y),\dots ,(x-y)} ). \\ & j & n-j\\ \end{matrix}$

Historia

Los polinomio homogéneos tuvieron un importante papel en las matemáticas del siglo XIX.

Las dos evidentes áreas donde se podría aplicar fueron la geometría proyectiva, y la teoría de números (en menor medida). El uso geométrico fue relacionado con teoría invariante.