Homología (matemática)

En matemática (especialmente en topología algebraica y en álgebra homológica), la homología (en Griego homos = idéntico) es un procedimiento general para asociar un objeto matemático dado (por ejemplo un espacio topológico o un grupo) con una sucesión de grupos abelianos, es decir una acción functorial.

Para un espacio topológico, los grupos de homología son generalmente mucho más fáciles de computar que los grupos de homotopía, y consecuentemente, uno habitualmente tendrá un trabajo más simple con homología para ayudar en la clasificación de espacios.

Definición

Se define el n-ésimo grupo de homología asociado a un complejo de cadenas

$\ldots\to A_{n+1}\stackrel{\delta_{n+1}}\to A_n\stackrel{\delta_n}\to A_{n-1}\to \ldots$

como el grupo abeliano

$H(A_n)=\frac{\ker(\delta_n)}{\rm im(\delta_{n+1})}.$

También se utiliza la notación H_n(A), donde A es el complejo de cadenas respectivo.

Se dice que la homología mide la falta de exactitud de un complejo de cadenas en cada uno de sus eslabones. Por ejemplo si tenemos una complejo de cadenas corto

$0\to A_1\stackrel{a_1}\to A_2\stackrel{a_2}\to A_3\to 0$

entonces sus correspondientes grupos de homología son:

$H(A_1)=\ker a_1,\qquad H(A_2)=\frac{{\rm ker}\ a_2}{{\rm im}\ a_1},\qquad H(A_3)=\frac{A_3}{{\rm im}\ a_2}$

Es obvio que si la sucesión fuese exacta, entonces estos grupos serían triviales (=0).