Homomorfismo de grupos

Un homomorfismo de grupos es una función entre grupos que conserva las estructuras de ambos como grupos.

En este artículo, $(G,\cdot)$ y $(H,\cdot)$ son grupos.

Definiciones

Este artículo empieza con la definición general.

Definición general

Se dirá que la función φ : G → H es un homomorfismo de grupos si para todos a y b en G, φ(ab) = φ(a)φ(b).

Con esta definición se ve que la imagen de φ, im(φ) = φ(G) = {h $\in$ H : si existe g$\in$ G, φ(g) = h}, es un subgrupo de (H, ·).

Se define el núcleo de φ como el conjunto ker(φ) = {g$\in$ G : φ(g) = 1_H}, donde 1_H es el Elemento Neutro de H. El núcleo de cualquier homomorfismo es un subgrupo normal de G.

Se dice que φ es un monomorfismo si es inyectivo, un epimorfismo si es sobreyectivo, y un isomorfismo si es monomorfismo y epimorfismo (i.e., es biyectivo).

Propiedades

• φ(1_G) = 1_H. En efecto, φ(1_G) = φ(1_G1_G) = φ(1_G)φ(1_G). Por eso 1_H = φ(1_G)φ(1_G) ^{− 1} = φ(1_G).

• $\ker(\varphi) \ne \varnothing$ porque $1_G \in \ker(\varphi)$.

• φ(a ^{− 1}) = φ(a) ^{− 1}. En efecto, 1_H = φ(1_G) = φ(aa ^{− 1}) = φ(a)φ(a ^{− 1}). Porque los inversos son únicos, $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$.

• ker(φ) es un subgrupo normal de G.

• Img(φ) es un subgrupo de H.