Igualdad matemática

dos objetos son iguales si (y solo si) son el mismo objeto. Por ejemplo, la frase "la suma de dos y dos" y la expresión "el cuatro" se refieren al mismo objeto matemático, un cierto número natural. La expresión "es igual a" o "es lo mismo que" se suele representar en matemáticas con el signo ' = ' .

Un enunciado en el que dos expresiones (iguales o distintas) denotan el mismo objeto se llama una ecuación o una igualdad. Un ejemplo de ecuación sería "dos más dos es lo mismo que cuatro", que se suele escribir así:

$2+2=4\,$

Una relación de equivalencia entre los elementos de un conjunto divide el conjunto en una serie de clases. El conjunto de las clases de equivalencia se llama 'conjunto cociente'. Decimos que dos elementos del conjunto original son ' equivalentes ' si pertenecen a la misma clase.

Por ejemplo, los números naturales se pueden dividir en dos clases, usando la relación de equivalencia 'dos números están relacionados si dan el mismo resto al dividirlos por dos'. Esta relación divide los números en dos clases, los pares y los impares. El conjunto cociente contiene dos elementos, que son, el conjunto de los números pares, y el conjunto de los impares. Según esta relación, 4 y 8 pertenecen a la misma clase y son 'equivalentes', pero 16 y 17 pertenecen a clases distintas.

Reglas que tiene que cumplir una relación $\sim \,$ para ser de equivalencia:

• Reflexiva: $x \sim x\,$
• Simétrica: Si $x \sim y\,$ entonces $y \sim x\,$.
• Transitiva: Si $x \sim y\,$ , $y \sim z\,$ entonces $x \sim z\,$.

Las igualdades pueden ser:

1) Condicionales, en cuyo caso se cumplen para solo algunos valores de la variable, por ejemplo, si $3x = 6\,$, solo se cumple la igualdad si $x=2\,$.

2) Identidades: se cumplen para todos los valores permisibles de la variable, por ejemplo:

$( x - 4 )^2= x^2-8x+16\,$ es una identidad algebraica que se cumple para todos los valores de $x\,$.

Cálculo de predicados de primer orden con igualdad

La lógica de predicados contiene los axiomas estándar para la igualdad que formalizan la ley de Leibniz, propuestos por el filósofo Gottfried Leibniz en el siglo XVII. La idea de Leibniz era que dos cosas son idénticas si y solamente si tienen exactamente las mismas propiedades. Para formalizar esto, debemos poder decir:

dados cualesquiera $x\,$ y $y\,$, $x = y\,$ si y solamente si, dado cualquier predicado $P\,$, $P(x)\,$ si y sólo si $P(y)\,$.

Sin embargo, en la lógica de primer orden, no podemos cuantificar sobre predicados. Así, necesitamos utilizar un esquema de axioma:

dados cualesquiera x y y, si x es igual a y, entonces P(x) si y sólo si P(y).

Este esquema de axioma, válido para cualquier predicado P en una variable, responde solamente por una dirección de la ley de Leibniz; si x y y son iguales, entonces tienen las mismas propiedades. Podemos garantizar la otra dirección simplemente postulando:

dado cualquier x, x es igual a x.

Entonces si x y y tienen las mismas propiedades, entonces en particular son iguales con respecto al predicado P dado por P(z) si y sólo si x = z. puesto que P(x) vale, P(y) deben también valer, luego x = y.

La relación contraria es una relación de diferencia, notada con un igual tachado: $\ne \,$

Origen de la notación

El signo = (igual), utilizado para indicar el resultado de una operación aritmética, fue ideado por el matemático Robert Recorde en 1557.

Cansado de escribir "is equalle to" (sic), Recorde, empleó el símbolo ——— en su trabajo Whetstone of Witte. Con la publicación de este libro, Recorde introdujo por primera vez el álgebra en Inglaterra.

Igualdades notables

Identidades muy utilizadas como son el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia y el producto “ suma por diferencia”:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\,$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\,$

$(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2\,$

Véase también

• La igualdad extensional