Números pares e impares

En matemática la paridad de un objeto se refiere a si éste es par o impar. En particular, cualquier número entero es par o impar.

Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero m es número par si y solo si existe otro número entero n tal que:

$m = 2 \cdot n$

Por lo tanto, si multiplicamos cualquier número entero por un número par obtendremos un nuevo número par. Los siguientes son números pares: 2, 4, 6, ..., y también: -2, -4, -6 ... .

Los números impares son aquellos números enteros que no son pares y por tanto no son múltiplos de 2. Los siguientes son números impares: 1, 3, 5, 7, 9 ..., y también: -1, -3, -5, ... . Sumando o restando 2 a un número impar se obtiene otro número impar. Sumando o restando una unidad a un número impar se obtiene un número par.

Se dice que un número entero, m, es impar si y solo si existe otro número entero, n, tal que:

$m = 2 \cdot n - 1$

Reconocimiento

Si la base que utilizamos es un número par (por ejemplo, base 10 o base 8), podremos reconocer un número par si su último dígito también es par. De esta manera, es un número impar todo número entero que en base 10 termine en 1, 3, 5, 7, 9.

Por ejemplo, el siguiente número en base 10:

352107706₁₀

es par ya que su último dígito, 6, también es par. Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:

2145301354₆ = 23211718₁₀

Otras propiedades

Los números pares tienen las siguientes propiedades con respecto a los impares:

par + par = par

par + impar = impar

impar + impar = par

par * par = par

par * impar = par

impar * impar = impar

Para demostrarlas, tendremos en cuenta que cualquier número par puede ser escrito como 2n y cualquier número impar como 2n − 1, siendo n un número entero.

P₁ + P₂ = 2a + 2b = 2(a + b) = 2n

P₁ + I₁ = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 = 2n + 1

I₁ + I₂ = 2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) = 2n

P₁ * P₂ = 2a * 2b = 2(2 * a * b) = 2(c) = 2n

P₁ * I₁ = 2a * (2b + 1) = 2a * 2b + 2a = 2c + 2a = 2(c + a) = 2n

I₁ * I₂ = (2a + 1) * (2b + 1) = 2a * 2b + 2a + 2b + 1 = 2c + 2a + 2b + 1 = 2(c + a + b) + 1 = 2n + 1

Propiedades con respecto a la divisibilidad

• Dos números enteros consecutivos son primos entre sí, o sea, no tienen divisores comunes distintos de la unidad.
• Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente múltiplo de 3. (Parece ser falso, ya que 0, 1, 2 son números enteros consecutivos, al igual que -1, 0, 1, pero hay que considerar que el número 1 es también divisor, y luego múltiplo de 3)

Tipos especiales de números pares

• Los números perfectos, al menos todos los que se conocen. Todavía no se sabe si hay alguno impar.
• Los números factoriales distintos de la unidad y los números primoriales son todos pares.
• Los números congruentes de Fibonacci son todos pares. Según la definición del mismo Fibonacci (Leonardo de Pisa, Filius Bonacci), que aparece en su libro "Liber Quadratorum" (1225), un número congruente es de la forma m·n (m² - n²), con m y n enteros positivos impares y m > n.

Tipos especiales de números impares

• Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que no tienen otros divisores más que ellos mismos y el 1.
  • Los números primos de la forma $\ 4\cdot n + 1$ , con n un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.
  • Los primos de la forma Definiciones en desuso

    En el libro 7 de los Elementos de Euclides^[1] (definiciones 8 a 10) vienen definidas unas clases de números que, aunque hoy en desuso, han sido citadas de forma recurrente en libros históricos de matemáticas.

    • Número parmente par, pariter par o propiamente par «es el medido por un número par según un número par». Sería, por tanto, el producto de dos números pares, es decir, los múltiplos de 4.
    • Número parmente impar o pariter impar «es el medido por un número par según un número impar», es decir, el producto de un número par por un número impar.
    • Número imparmente impar, impariter impar o propiamente impar «es el medido por un número impar según un número impar», es decir, el producto de dos números impares.

    Observaciones:

    • En estas definiciones, el 1 no cuenta como número,^{[2] [3]} por lo que los números imparmente impares son exactamente los números impares compuestos. Estos son los números que se emplean en la criba de Sundaram para hallar números primos: un número primo será todo número impar (con la consabida excepción del 2) que no esté en la criba de Sundaram.
    • Algunos números se consideran tanto parmente pares como parmente impares. Por ejemplo, 24 es igual a 6 por 4, así que es parmente par; pero también es igual a 3 por 8, con lo que es parmente impar.

    Algunas fuentes, tales como Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica (1794)^[4] y el más reciente Enjambre matemático,^[5] utilizan otra definición para los números parmente pares: no se trata de los que son productos de dos pares, sino de los que sólo se pueden expresar como producto de dos pares (exceptuando, por supuesto, el producto de sí mismos por uno). Según esta definición, los números parmente pares son exactamente las potencias de 2. Asimismo, definen el número parmente impar como el múltiplo de una potencia de 2 por un número impar e introducen el concepto, ausente en la obra de Euclides,^[5] de número imparmente par como un número que es doble de un número impar. La definición del número imparmente impar no sufre variación.

    El libro Llave aritmética y algebrayca^[6] utiliza las primeras definiciones y explica el caso de que haya números que son simultáneamente parmente pares y parmente impares. Esta definición, además, queda reforzada en la proposición 32 del libro 9 de los Elementos,^[1] que explica así: «Cada uno de los números (que es continuamente) duplicado a partir de una díada es solamente un (número) parmente par».

    Véase también

    • Número
    • Matemáticas

    Referencias

    1. ↑ ^{a b} Los Elementos, versión bilingüe en griego e inglés (disponible en PDF)
    2. ↑ "(El uno no era considerado como un número impar, sino más bien como el origen de todos los números.)" (Dantzig, Tobías (1971). Capítulo III: La Ciencia de los Números, del libro: "El Número. Lenguaje de la Ciencia", Buenos Aires, Editorial Hobbs Sudmericana S. A.,páginas 49,53. Cita de la página 53)
    3. ↑ Esto provenía de una doctrina oculta vinculada al sacerdocio pagano. El uno representaba a la divinidad antes del acto creador. El primer número era el dos, la dualidad creadora, que permite percibir por medio de la diferenciación. Para esos seres humanos todo se creaba de a pares opuestos: luz-oscuridad; sí-no; masculino-femenino. La unidad primigenia era indiscernible. De aquí proviene la verdadera razón por la que el número uno no es considerado un número primo. La definición elemental de número primo es: «Primo es aquel número natural que solamente es divisible por sí mismo y por la unidad». Algunas personas objetan por qué 1 no es primo basándose en que no hay razón lógica que se pueda oponer para negar que 1 cumple con esa definición. La razón es que originariamente el número 1 no era considerado un número. Aunque a posteriori se pudieran agregar otros motivos, el comienzo de todo está en esta concepción mística primitiva de los números, en una tradición olvidada.
    4. ↑ de Santa Cruz, Miguel Gerónimo (1794). Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica.. Madrid: Imprenta de don Benito Cano. pp. 4-6. http://books.google.es/books?id=hfSL2PZ2PlMC&printsec=titlepage. 
    5. ↑ ^{a b} Rodríguez Vidal, R.. Enjambre matemático. Reverté. pp. 73-75. http://books.google.es/books?id=_L9umBMnvHYC&pg=PA74. 
    6. ↑ Poy y Comes, Manuel (1790). Llave aritmética y algebrayca. Barcelona: Impresor de S.M., Calle de la Paja. pp. 4-6. http://books.google.es/books?id=bc82AAAAMAAJ&printsec=titlepage.