Independencia algebraica

En el álgebra abstracta, un subconjunto S de un campo L es algebraicamente independiente sobre un subcuerpo K si los elementos de S no satisfacen ninguna ecuación polinómica no-trivial con coeficientes en K. Esto significa que para toda secuencia finita α₁, ..., α_n de elementos de S, no siendo dos idénticas, y todo polinomio distinto de cero P(x₁, ..., x_n) con coeficientes en K, tenemos

P(α₁,...,α_n) ≠ 0.

En particular, un conjunto de un elemento {α} es algebraicamente independiente sobre K si y sólo si α es transcendente sobre K. En general, todos los elementos de un conjunto algebraicamente independiente sobre K son necesariamente trascendentes sobre K, pero eso está lejos de ser una condición suficiente.

Por ejemplo, el subconjunto {√π, 2π+1} de los reales R no es algebraicamente independiente sobre los racionales Q, dado que el polinomio distinto de cero

$P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1$

resulta cero cuando √π es sustituido por x₁ y 2π+1 es sustituido por x₂.

El teorema de Lindemann-Weierstrass puede frecuentemente ser usado para probar que algunos conjuntos son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}$. Enuncia que cuando α₁,...,α_n son números algebraicos que sean linealmente independientes sobre Q, entonces e^α₁,...,e^α_n son algebraicamente independientes sobre Q.

No se conoce si el conjunto {π, e} es algebraicamente independiente sobre Q. Nesterenko probó en 1996 que {π, e^π, Γ(1/4)} es algebraicamente independiente sobre Q.

Dada una Extensión de cuerpo L/K, podemos usar el lema de Zorn para mostrar que siempre existe un máximo subconjunto algebraicamente independiente de L sobre K. Más aún, todos los máximos subconjuntos algebraicamente independientes tienen la misma cardinalidad, conocida como grado de trascendencia de la extensión.