Inducción matemática


Inducción matemática
Una descripción informal de la inducción matemática puede ser ilustrada por el efecto dominó, donde ocurre una reacción en cadena con una secuencia de piezas de dominó cayendo una detrás de la otra.

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n\, que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero a\, tiene la propiedad P\,.
Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n\, tenga la propiedad P\, implica que n+1\, también la tiene.
Conclusión: Todos los números enteros a partir de a\, tienen la propiedad P\,.

Contenido

Demostraciones por inducción

El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue. Llamemos P_n\, a la proposición, donde n\, es el rango.

  • Se demuestra que P_0\,, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta.
  • Se demuestra que si se asume P_n\, como cierta y como hipótesis inductiva, entonces P_{n+1}\, lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n\, (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que P_n\, es cierto para todo natural n\,.

La inducción puede empezar por otro término que P_0\,, digamos por P\,n_o\,. Entonces P_n\, no será válido a partir del rango n_0\,, es decir, para todo natural n \ge n_0\,.

Ejemplo 1

Para todo n \ge 1, 6^n\, es un número que acaba en 6.

Sea P_n\, la proposición: «6^n\, acaba en 6».
  • Es claro que P_1\, es cierto, porque 6^1 = 6\,.
  • Supongamos que P_n\, es cierto para un valor de n\, natural, y probemos P_{n+1}\,.
Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: 10a+6\,, con a\, entero positivo o igual a cero. La hipótesis es, pues, 6^n=10a+6\,.
Entonces 6^{n+1}=6(10a+6)=60a+36=60a+30+6=10(6a+3)+6=10c+6\,, con c=6a+3\,, entero.
Esta última escritura prueba que 6^{n+1}\, acaba por 6, o sea que P_{n+1}\, es cierto.
Luego P_n\, es cierto para todo n \ge 1\,.

La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. En este caso:

  • 1 es un natural;
  • si n\, lo es, entonces n+1\, (sucesor de n\,) lo es también.

Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional.

Además de la demostración por inducción, existe la definición o construcción por inducción. Por ejemplo, una sucesión aritmética puede ser definida como función de n\,: u_n = a + rn\,, o por inducción:

  • u_0 = a\,
  • u_{n+1} = u_n + r\,.

Ejemplo 2

Véase también: Sumatorio
Se tratara de demostrar por inducción la siguiente proposición:
\sum_{k=1}^n (2k - 1) 3^k = (n - 1) 3^{n+1} + 3 \forall n \in \mathbb{N}
1. Se comprueba para n=1
\sum_{k=1}^1 (2 - 1) 3^1 = 3 = (1 - 1) 3^{1+1} + 3
Se tiene por tanto que la proposición es verdadera para n=1
2. Hipótesis inductiva (n=h)
\sum_{k=1}^h (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3
3. Tesis inductiva (n=h+1)
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h + 1 - 1) 3^{h+1+1} + 3
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = h 3^{h+2} + 3
4. Demostración de la tesis en base a la hipótesis
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = \sum_{k=1}^{h} (2k - 1) 3^k  +(2(h+1) - 1) 3^{h+1}
Se aplica la hipótesis de inducción:
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + [2(h+1) - 1] 3^{h+1}
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + (2h+2 - 1) 3^{h+1}
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = 3^{h+1} (h - 1 + 2h + 1) + 3 (sacando factor común)
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = 3^{h+1} 3h + 3
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = h 3^{h+2} + 3
Por lo tanto, por verificarse la proposición para n=1 y para n=k+1 siendo k cualquier número natural, la proposición se verifica \forall n \in \mathbb {N}

Véase también

Enlaces externos


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