Teleportación cuántica

La teleportación es una técnología cuántica única que transfiere un estado cuántico a una localización arbitrariamente alejada usando un estado de entrelazamiento cuántico distribuido y la transmisión de cierta información clásica. La teleportación cuántica no transporta energía o materia, ni permite la comunicación de información a velocidad superior a la de la luz, pero es útil en comunicación y computación cuánticas.

Realización

A continuación se presenta un experimento realizado en el CERN a través de qubits y computación cuántica:

El objetivo de esta técnica es transmitir un qubit entre Alice (emisor) y Bob (receptor) mediante el envío de dos bits clásicos. Previamente, Alice y Bob deberán compartir un estado entrelazado (entangled).

Los pasos a seguir por Alice y Bob son los siguientes:

• Alice y Bob preparan un estado entrelazado como el que sigue: $\beta_{00} = \frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})$.
• Alice y Bob se separan. Alice se queda con el primer qubit del par entrelazado y Bob se lleva el segundo.
• Alice desea ahora transmitir el qubit $|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta|1\rangle$ a Bob. Alice operará sobre dos qubits: el primero es el qubit que quiere transmitir y el segundo es el primer qubit del par entrelazado, que ella tiene en su poder.
• Alice primero aplica la compuerta cuántica CNOT a sus dos qubits.
• Alice aplica la compuerta cuántica Hadamard al primero de sus dos qubits.
• Alice realiza una medición sobre ambos qubits y obtiene los dos bits clásicos b₁b₂, que envía a Bob por un canal de comunicación clásico.
• Bob aplica la transformación $Z^{b_1}X^{b_2}$ sobre su qubit, de acuerdo a los bits recibidos b₁b₂ donde X es la matriz de Pauli σ_x y Z la matriz de Pauli σ_z. El resultado obtenido por Bob en su qubit será $|\psi\rangle$.

Formulación

Esquema de la teleportación cuántica.

El esquema completo de la teleportación cuántica se muestra en la figura de la derecha, donde ${\left\vert{\psi}\right\rangle}$ es el qubit a teleportar y β₀₀ es el estado entrelazado auxiliar.

Veamos, la entrada al circuito es:

${\left\vert{\psi}\right\rangle}=\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}$

$\beta_{00} = \frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})$

que puede escribirse:

${\left\vert{\psi}\right\rangle} \otimes \beta_{00} =(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}+\beta{\left\vert{1}\right\rangle})\left(\frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})\right)$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})\right)$

Esta entrada pasa a través de una puerta CNOT, cuya función es:

$|0\rangle|0\rangle\rightarrow |0\rangle|0\rangle,~|0\rangle|1\rangle\rightarrow |0\rangle|1\rangle,~|1\rangle|0\rangle\rightarrow |1\rangle|1\rangle,~|1\rangle|1\rangle\rightarrow |1\rangle|0\rangle$,

con lo que en nuestro circuito obtenemos:

${\;{{CNOT(1,2)} \atop \longrightarrow}\;} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}({\left\vert{10}\right\rangle}+{\left\vert{01}\right\rangle})\right)$

A continuación atraviesa la puerta de Hadamard (bloque H en la figura), cuya función es

$\textstyle |0\rangle\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),~|1\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$,

con lo cual en la figura obtenemos:

${\;{{H(1)} \atop \longrightarrow}\;} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha\frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{0}\right\rangle}+{\left\vert{1}\right\rangle})({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})+\beta\frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{0}\right\rangle}-{\left\vert{1}\right\rangle})({\left\vert{10}\right\rangle}+{\left\vert{01}\right\rangle})\right)$

$=\frac{1}{2}\left({\left\vert{00}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}) +{\left\vert{01}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{1}\right\rangle}+\beta{\left\vert{0}\right\rangle}) +{\left\vert{10}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}-\beta{\left\vert{1}\right\rangle}) +{\left\vert{11}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{1}\right\rangle}-\beta{\left\vert{0}\right\rangle})\right)$

$=\frac{1}{2}\sum_{b_1b_2=0}^{1}{\left\vert{b_1 b_2}\right\rangle}(X^{b_2}Z^{b_1}){\left\vert{\psi}\right\rangle}$

Ahora Alice hace la medición de sus dos qubits y obtiene uno de los cuatro b₁b₂ posibles. El sistema colapsa al estado

${\;{{Medida} \atop \longrightarrow}\;} (X^{b_2}Z^{b_1}) {\left\vert{\psi}\right\rangle}$

Alice envía la información que obtiene en la medición (b₁b₂) a Bob, que sabrá cuál de los cuatro términos es realmente el que tiene en su poder (estos términos varían en el signo de los sumandos o tienen los coeficientes intercambiados). Bob convertirá los signos negativos en positivos y reordenará los coeficientes aplicando $Z^{b_1}X^{b_2}$, según la tabla de abajo, y así obtendrá el estado original ${\left\vert{\psi}\right\rangle}$.

Bits recibidos	Compuerta a aplicar	Operación
00	I	$\alpha|0\rangle+\beta |1\rangle\rightarrow\alpha|0\rangle+\beta |1\rangle$
01	X	$\alpha|0\rangle+\beta |1\rangle\rightarrow\beta|0\rangle+\alpha |1\rangle$
10	Z	$\alpha|0\rangle+\beta |1\rangle\rightarrow\alpha|0\rangle-\beta |1\rangle$
11	ZX	$\alpha|0\rangle+\beta |1\rangle\rightarrow\beta|0\rangle-\alpha |1\rangle$

Donde I es la matriz de identidad.

Intercambio de entrelazamiento

El entrelazamiento cuántico puede ser aplicado no sólo a estados puros, sino también a estados mezcla, o inclusive a un estado no definido de una partícula entrelazada. El "intercambio de entrelazamiento" es un ejemplo simple e ilustrativo.

Supongamos que dos partes, Alice y Carol, necesitan crear un canal de teleportación pero carecen de un par de partículas entrelazadas, lo cual hace que esta tarea sea imposible. Además, supongamos que Alice tiene en su poder una partícula que está entrelazada con una partícula que pertenece a una tercera parte, Bob. Si Bob teletransporta su partícula a Carol, hará que la partícula de Alice se enlace automáticamente con la de Carol.

Una forma más simétrica de explicar la situación es la siguiente: Alice tiene una partícula, Bob tiene dos, y Carol una. La partícula de Alice y la primera de Bob están entrelazadas, de la misma manera que la segunda de Bob está entrelazada con la de Carol.

                     ___
                    /   \
Alice-:-:-:-:-:-Bob1 -:- Bob2-:-:-:-:-:-Carol
                    \___/

Ahora: si Bob realiza una medición proyectiva sobre sus dos partículas en una base de Bell (ver Analizador de Estado de Bell), y luego comunica el resultado a Carol, tal como lo describe el esquema de arriba, el estado de la primera partícula de Bob puede ser enviado por teleportación a Carol. Si bien Alice y Carol nunca interactuaron entre sí, sus partículas están ahora entrelazadas.

Véase también

• Computación cuántica
• Entrelazamiento cuántico
• Mecánica cuántica
• Formulación matemática de la mecánica cuántica

Enlace externo

Intercambio de Entrelazamiento, desde un punto de vista de la computación cuántica.

Referencias

• La versión original de este artículo ha sido extraída del siguiente texto con el permiso del autor: Notas de las Charlas Introductorias a la Computación Cuántica (Alejandro Díaz-Caro).
• Michael A. Nielsen e Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, Reino Unido, 2000, ISBN:0-521-63503-9.