Interior (topología)

Interior (topología)

Sea (X,\mathcal{T}) un espacio topológico, y A \subset X . Se define el interior de A (notado int(A) o Ao) como el abierto más grande contenido en A. Es decir, V = int(A) si y sólo si es V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en V.

Caracterización

Constructivamente, se define \mbox{int}(A)=\cup \{V \in \mathcal{T}: V \subset A\}. Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en A.

También se puede caracterizar el interior por medio de los entornos, de la siguiente manera: \mbox{int}(A)=\{x\in A:  \exists V \subset N_x, V\subset A\} , donde Nx representa el conjunto de todos los entornos del punto x. En espacios métricos se puede explicitar aún más: \mbox{int}(A)=\{x \in X: \exists \epsilon >0, B(x, \epsilon) \subset A \} .

Propiedades

Las siguientes son las principales propiedades del interior:

  1. A es abierto si y sólo si int(A) = A
  2. int(int(A)) = int(A)
  3. A \subset B \Rightarrow \mbox{int}(A)\subset \mbox{int}(B)
  4. \mbox{int}(\varnothing)=\varnothing, \mbox{int}(X)=X (pues ambos son conjuntos abiertos)
  5. \mbox{int}(A)\cap \mbox{int}(B)= \mbox{int}(A \cap B)
  6. \mbox{int}(A) \cup \mbox{int}(B) \subset \mbox{int}(A \cup B) (pudiendo ser estricto)
  7. \mbox{int}(A)=(\mbox{adh}(A^c))^c\,

Hay conjuntos de interior vacío, y cuya adherencia es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales \mathbb{I} y los racionales \mathbb{Q} en la recta real.


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