Intersección de conjuntos

Intersección de conjuntos
La intersección de A y B es otro conjunto AB que contiene sólo los elementos que pertenencen tanto a A como a B.

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D :

P = {2, 4, 6, 8, 10,...}
C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}
D = {4, 16, 36, 64, ...}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = PC.

Contenido

Definición

Intersección de dos conjuntos A y B.

Dados dos conjuntos A y B, la intersección de ambos, AB es un conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:

LA intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto AB cuyos elementos son los elementos comunes a A y B :

x\in A\cap B\text{ si y s}\acute\text{o}\text{lo si }x\in A\text{ y }x\in B

Ejemplo.

  • Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es AB = {5, c}.
  • Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección es CD = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}.
  • Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:

A\cap B=\varnothing

Generalizaciones

La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante:

A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n=A_1\cap(A_2\cap(\ldots(A_{n-1}\cap A_n){\scriptstyle \ldots})

La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:

Sea M una familia de conjuntos. Su intersección M se define como:

x\in\bigcap M\text{ si y s}\acute{\text{o}}\text{lo si para cada }A\in M\text{ se tiene que }x\in A

De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:

AB = M, donde M = {A, B}
A1 ∩ ... ∩ An = M, donde M = {A1, ..., An}

La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:

\bigcap M=\bigcap_{A\in M}A=\bigcup_{i\in I}A_i\text{ ,}

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo M como {Ai: iI}.

Propiedades

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

De la definición de intersección puede deducirse directamente:

  • Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A :
AA = A
  • La intersección de Ay B es un subconjunto de ambos:
ABA y ABB
  • La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado:
BA implica AB = B

La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

  • Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y BC es igual a la intersección de los conjuntos AB y C :
(AB) ∩ C = A ∩ (BC)
  • Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A :
AB = BA.
  • Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅:
A ∩ ∅ = ∅

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.

En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva

  • A ∪ (BC) = (AB) ∩ (AC), y por tanto:
    • A ∪ (AB) = A
  • A ∩ (B ∪ C) = (AB) ∪ (AC), y por tanto:
    • A ∩ (AB) = A

Teoría axiomática

Artículo principal: Axioma de especificación

En teoría axiomática de conjuntos, la existencia de la intersección de una familia de conjuntos es consecuencia del axioma especificación.

Referencias

  • Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5. 
  • Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 

Véase también


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