Matriz invertible

En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que

AA⁻¹ = A⁻¹A = I_n,

donde I_n es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Propiedades de la matriz inversa

• La inversa de una matriz, si existe, es única.
• La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

$\left (A \cdot B \right ) ^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}$

• Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

$\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}$

• Y, evidentemente:

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$

• Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

${A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \operatorname{adj} (A)^{\mathrm{T}} \$

donde ${ {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}$ es el determinante de A y $\operatorname{adj}{(A)}^{\mathrm{T}} \$ es la transpuesta de la matriz de adjuntos de A.

Demostración de la unicidad de la inversa

Supongamos que B y C son inversas de A

AB = BA = I

AC = CA = I

Multiplicando por C

(BA)C = IC = C

(BA)C = B(AC) = BI = B

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas

Se probará la doble implicación.

Necesidad $(\Rightarrow)$

Suponiendo que existe B tal que AB = BA = I. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

$\det\left(AB\right)=\det\left(BA\right)=\det\left(I\right)$

usando la propiedad det(I) = 1

$\det\left(A\right)\det\left(B\right)=1$

Por lo tanto, det(A) es distinto de cero.

$\det\left(A\right)\neq0$

Suficiencia $(\Leftarrow)$

Suponiendo que el determinante de A es distinto de cero, sea a_ij es el elemento ij de la matriz A y sea A_ij la matriz A sin la fila i y la columna j (comúnmente conocida como j-ésimo menor de A). Entonces

$\det(A)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})$

Sea $k\neq j$, entonces

$\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0$

Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columna j igual a la columna k y los demás términos iguales a los de A. Entonces

$\delta_{jk}\det\left(A\right)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}\det\left(A_{ij}\right)a_{ik}$

donde δ_jk = 1 cuando j = k y δ_jk = 0 cuando $j\neq k$. Entonces

$\det\left(A\right)I = \left(\mbox{adj}(A)\right)A$

Es decir que A tiene inversa izquierda

$\frac{\left(\text{adj}(A)\right)^T}{\det\left(A\right)}$

Como $\left(\text{adj}(A)\right)^T = \text{adj}\left(A^T\right)$, entonces A^T también tiene inversa izquierda que es

$\frac{\left(\text{adj}(A^T)\right)^T}{\det\left(A^T\right)}= \frac{\text{adj}(A)}{\det\left(A\right)}$

Entonces

$\frac{\text{adj}(A)}{\det\left(A\right)}A^T=I$

luego, aplicando la transpuesta

$A\frac{\left(\text{adj}(A)\right)^T}{\det\left(A\right)}=I$

Que es lo que se quería demostrar

Métodos de inversión de matrices

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:^[1]

$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \; \left [ \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right ]$

Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.

Inversión de matrices de órdenes superiores

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

${A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \ \operatorname{adj} (A^{T}) \$

Donde $\operatorname{adj} (A^{T})$ es la matriz adjunta de la matriz traspuesta, no de la matriz original; ${ {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}$ es el determinante de A y $\ \operatorname{adj}{(A)} \$ es la matriz de adjuntos de A.

Métodos numéricos

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

Referencias

1. ↑ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications. Thomson Brooks/Cole. pp. 46. ISBN 0-03-010567-6.