Proyección isométrica

Una proyección isométrica es un método gráfico de representación, más específicamente una axonométrica^[1] cilíndrica^[2] ortogonal.^[3] Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.

El término isométrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).

La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.

Proyección isométrica de un filtro Bayer sobre un sensor.

Visualización

La isometría determina una dirección de visualización en la que la proyección de los ejes coordenados x, y, z conforman el mismo ángulo, es decir, 120º entre sí. Los objetos se muestran con una rotación del punto de vista de 45º en las tres direcciones principales (x, y, z).

Esta perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en el vértice superior de una habitación cúbica, mirando hacia el vértice opuesto. los ejes x e y son las rectas de encuentro de las paredes con el suelo, y el eje z, el vertical, el encuentro de las paredes. En el dibujo, los ejes (y sus líneas paralelas), mantienen 120º entre ellos.

En perspectiva isométrica se suele utilizar un coeficiente de reducción de las dimensiones equivalente a 0,82. El dibujo isométrico puede realizarse sin reducción, a escala 1:1 o escala natural, y los segmentos del dibujo paralelos a los ejes, se corresponderán con las del objeto.

Dentro del conjunto de proyecciones axonométricas o cilíndricas, existen otros tipos de perspectiva, que difieren por la posición de los ejes principales, y el uso de diferentes coeficientes de reducción para compensar las distorsiones visuales.

Aplicaciones

Las figuras de la izquierda son las vistas en sistema diédrico, mientras que a la derecha se ve una proyección isométrica con una sección parcial.

En el diseño y el dibujo técnico

En diseño industrial se representa una pieza desde diferentes puntos de vista, perpendicular a los ejes coordenados naturales. Una pieza con movimiento mecánico presenta en general formas con ejes de simetría o caras planas. Tales ejes, o las aristas de las caras, permiten definir una proyección ortogonal.

Se puede fácilmente dibujar una perspectiva isométrica de la pieza a partir de tales vistas, lo que permite mejorar la comprensión de la forma del objeto.

En arquitectura

El castillo del Louvre, dibujo isométrico de Viollet-Le-Duc,(1814-1879).

Eugène Viollet-le-Duc utilizó este sistema en muchos dibujos de sus edificios, evitando acentuar la importancia de unos volúmenes sobre otros e independizándose del punto de vista del observador.

En videojuegos

Cierto número de videojuegos pone en acción a sus personajes utilizando un punto de vista en perspectiva isométrica, o mejor dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4". Desde un ángulo práctico, ello permite desplazar los elementos gráficos sin modificar el tamaño, limitación inevitable para ordenadores con baja capacidad gráfica.

A fin de evitar el pixelado, en algunos casos se llevó la proyección a un sistema 2:1, vale decir a una inclinación de 26,6º (arctan 0,5) en lugar de 30º, que no corresponde a una proyección isométrica propiamente dicha, sino "dimétrica".

El progresivo incremento en las capacidades gráficas de los ordenadores ha posibilitado el uso cada vez más generalizado de sistemas de proyección más realistas, basados en la perspectiva naturalmente percibida por el ojo humano: la perspectiva cónica.

Aspectos matemáticos

Siendo la perspectiva isométrica una proyección geométrica sobre un plano según un eje perpendicular al mismo, sus características y relaciones pueden ser calculadas analíticamente mediante la trigonometría.

Factor de reducción sobre los ejes

Ilustración de la proyección del eje "z" sobre el plano de representación.

Considerando la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su intersección con el plano de proyección define un ángulo α, la proyección tendrá una longitud equivalente al coseno de α.

• α es también el ángulo entre la perpendicular al plano de proyección que pasa por el origen y por el punto (1,1,1) y la bisectriz de los ejes x e y que pasan por (1,1,0).

• el triángulo formado por los puntos (0,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) es rectángulo, por lo que el segmento [(0,0,0),(1,1,0)] tiene una longitud equivalente a √2 (diagonal del cuadrado), el segmento [(1,1,0),(1,1,1)] tiene una longitud igual a 1, y la hipotenusa [(0,0,0),(1,1,1)] tiene una longitud √3.

En consecuencia:

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \simeq 0,82$.

Puede deducirse que α ≈ 35,26 °.

Es posible también utilizar el producto escalar:

• el vector unitario definido por la diagonal mayor es (1/√3, 1/√3, 1/√3);
• la arista [(0,0,0),(0,0,1)] se proyecta sobre la diagonal mayor en un segmento de longitud k₁, y sobre el plano normal a la misma en un segmento de longitud k₂
• k₁ es el producto escalar de $\vec{a}$ y de $\vec{b}$, y se puede calcular mediante las coordenadas: $k_1 = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1/\sqrt{3} + 0 \times 1/\sqrt{3} + 0 \times 1/\sqrt{3} = 1/\sqrt{3}$
• el teorema de Pitágoras nos indica que k₁² + k₂² = 1 (longitud de las aristas de un cubo)

En consecuencia:

$k_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} \simeq 0,82$.

La longitud de los segmentos sobre los ejes de representación se proyectan con un factor de 0.82.

Se llega igualmente a esta conclusión utilizando la fórmula general de proyecciones ortogonales.

Por otro lado, si se considera el círculo unitario del plan (x,y), el rayo se proyecta según la línea de mayor pendiente, que es la primer bisectriz del plano, con un factor de proyección equivalente a sin α = k₁ = 1/√3 ≈ 0,58, que corresponde al eje menor de la elipse.

Transformación de coordenadas

Proyección de la base ortonormal del espacio.

La transformación de coordenadas cartesianas se utiliza para calcular las vistas a partir de las coordenadas de los puntos, por ejemplo en el caso de un juego de video, o de simulación 3D.

Suponiendo un espacio provisto de una base ortonormal directa $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$. La proyección P se realiza según el vector $\vec{u}$ de componentes (1,1,1), es decir el vector $\vec{u} = \vec{e_1} + \vec{e_2} + \vec{e_3}$, según el plano representado por ese mismo vector.

Como toda aplicación lineal, puede estar representado por la transformación de los vectores de la base, más un vector $\vec{v} = v_1 \cdot \vec{e_1} + v_2 \cdot \vec{e_2} + v_3 \cdot \vec{e_3}$ que se transforma según

$P(\vec{v}) = P(v_1 \cdot \vec{e_1} + v_2 \cdot\vec{e_2} + v_3\cdot\vec{e_3})$

$P(\vec{v}) = v_1 \cdot P(\vec{e_1}) + v_2 \cdot P(\vec{e_2}) + v_3\cdot P(\vec{e_3})$

Sea $\vec{e'_n} = P(\vec{e_n})$. LLamamos $(\vec{i},\vec{j})$ a la base ortonormal directa sobre el plano de proyección.

Elegimos arbitrariamente que $\vec{e'_1}$ hace un ángulo de -π/6 con $\vec{i}$.

La aplicación particular del cálculo a las proyecciones ortogonales en la perspectiva isométrica resulta:

• $\vec{e'_1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \vec{j}$; $k_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}$
• $\vec{e'_2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \vec{j}$; k₂ = k₁
• $\vec{e'_3} = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \vec{j}$; k₃ = k₁

La matriz de la proyección M_P es en consecuencia:

$M_P = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ - \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} & \sqrt{\frac{2}{3}} \\ \end{pmatrix}$

Considerando un punto (x, y, z) del espacio que se proyecta en (x', y'), su proyección será:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = M_P \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} (x-y) \\ \sqrt{\frac{2}{3}} z - \frac{1}{\sqrt{6}} (x + y) \\ \end{pmatrix}$

Transformación de un círculo del plano conteniendo dos ejes

Si consideramos el círculo trigonométrico del plano $(\vec{e_1},\vec{e_3})$, las coordenadas paramétricas de sus puntos serán:

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \\\end{pmatrix}$

Las coordenadas de los puntos proyectados en la base $(\vec{i},\vec{j})$ serán:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \theta - \sin \theta) \\ - \frac{1}{\sqrt{6}}(\cos \theta + \sin \theta) \\ \end{pmatrix}$

La distancia al origen es $r = \sqrt{x'^2 + y'^2}$, siendo

$r^2 = \frac{2}{3} \left ( 1 - \sin \theta \cdot \cos \theta \right ) = \frac{2}{3} \left ( 1 - \frac{1}{2}\cdot \sin 2\theta \right )$

Esta distancia varia en consecuencia entre 1 y $\sqrt{1/3} \simeq 0,58$

Referencias

1. ↑ Axonometría (axo=eje): basada en ejes de proyección.
2. ↑ Proyección cilíndrica, es decir, cuyos rayos proyectantes son paralelos entre si, poniendo el punto de vista en el infinito. Un punto de vista "real" genera una proyección cónica, como en el cine o en una perpectiva a puntos de fuga.
3. ↑ Proyección ortogonal se refiere a su perpendicularidad respecto del plano de proyección

Enlaces externos

• Trazoide. Ejercicios de perspectivas isométricas resueltas a todos los niveles
• Perspectiva isométrica, en isftic. (16/12/08)
• Explicación de una proyección isométrica (en inglés)
• Explicación y tutorial (en inglés)
• Completo documento sobre las fórmulas involucradas (en inglés)
• Motor de isometrías 3D basado en Flash