Isomorfismo musical

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En matemáticas, el isomorfismo musical es un isomorfismo entre el fibrado tangente TM y el fibrado cotangente T ^* M de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica.

Introducción

Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial $g \in \mathcal{T}_2(M)$ que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector $v_p \in T_p M$, se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:

$\hat{g}_p : T_p M \longrightarrow T^*_p M$

definido por:

$\hat{g}_p(v_p) = g(v_p,-)$

es decir,

$\langle \hat{g}_p(v_p),\omega_p \rangle = g_p(v_p,\omega_p)$

Globalmente,

$\hat{g} : TM \longrightarrow T^*M$

es un difeomorfismo.

Motivación para el nombre

El isomorfismo $\hat{g}$ y su inversa $\hat{g}^{-1}$ se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como $\alpha^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ y un covector como α_idxⁱ, así que el índice i sube y baja en α del mismo modo que los símbolos sostenido ($\sharp$) y bemol ($\flat$) suben y bajan un semitono.

Gradiente

Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como:

$\nabla f = \mathrm{grad}\;f = \hat{g}^{-1} \circ df = (df)^{\sharp}$

Véase también

• Ley de subir o bajar índices (tensores)

Obtenido de «http://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo_musical»