Álgebra de Lie ortogonal generalizada

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$\begin{pmatrix} \mathbf{A} & V \\ -V^t & 0 \end{pmatrix}$ pertenece a $\mathfrak{so}$(n+1) si A pertenece a $\mathfrak{so}$(n) y V es un n-vector (columna).

$\begin{pmatrix} \mathbf{A} & V \\ V^t & 0 \end{pmatrix}$ pertenece a $\mathfrak{so}$(n, m+1) si A pertenece a $\mathfrak{so}$(n, m) y V es un (n+m)-vector.(incluyendo m = 0, por supuesto). El álgebra de Lobachevski es $\mathfrak{so}$(n,1) (no álgebra de Lorentz como es usual en la literatura, una confusión con su papel en el álgebra de Poincaré, aunque la expresión común es álgebra hiperbólica).

Notación Nueva!: $\begin{pmatrix}A & V \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ pertenece a $\mathfrak{so}$(n, m, 1) si A pertenece a $\mathfrak{so}$(n, m) y V es un (n+m)-vector. El álgebra euclidiana es $\mathfrak{so}$(n, 0, 1)!. El álgebra de Poincaré es $\mathfrak{so}$(n, 1, 1). En general, representa el álgebra de Lie del producto semidirecto de las traslaciones en el espacio R^n+m con SO(n, m) que tiene a $\mathfrak{so}$(n, m) como su álgebra de Lie.

Notación Nueva: $\begin{pmatrix}A & V \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ pertenece a $\mathfrak{so}$(n, m, l+1) si A pertenece a $\mathfrak{so}$(n, m, l) y V es un (n+m+l)-vector.

En particular: $\begin{pmatrix}A & V & X\\ 0 & 0 & t \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ pertenece a $\mathfrak{so}$(n, m,2) si A pertenece a $\mathfrak{so}$(n, m) y V y X son (n+m)-vectores. El álgebra de Galileo es $\mathfrak{so}$(n,0,2), asociado a un producto semidirecto iterado. (t es un "número", pero importante $\mathfrak{g}/[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ da t si n>2. así que el tiempo es la parte conmutativa del grupo de Galileo).

Para completar, damos aquí las ecuaciones de estructura. El álgebra de Galileo $\mathfrak{g}$ es expandida por T, X_i, V_i y A_ij (tensor antisimétrico) conforme a:

• [X_i, T] = 0

• [X_i, X_j] = 0

• [A_ij, T] = 0

• [V_i, V_j] = 0

• [A_ij, A_kl] = δ_ik A_jl - δ_il A_jk - δ_jk A_il + δ_jl A_ik

• [A_ij, X_k] = δ_ik X_j - δ_jk X_i

• [A_ij, V_k] = δ_ik V_j - δ_jk V_i

• [V_i, X_j] = 0

• [V_i,T]=X_i

Enlaces externos

• Geometric Asymptotics by Victor Guillemin and Shlomo Sternberg (Gratis en AMS)
• cf. pg.188 (chIV-7. Periodic Hamiltonian Systems) MUY LENTO como cualquier libro imagen