Algoritmo de Borwein

El algoritmo de Borwein es un algoritmo desarrollado por Jonathan y Peter Borwein que permite el cálculo de 1/π.

Se procede de la siguiente forma:

• Se comienza con los valores

  $a_0 = 6 - 4\sqrt{2}$

  $y_0 = \sqrt{2} - 1$

• Después se itera con las siguientes fórmulas

  $y_{k+1} = \frac{1-(1-y_k^4)^{1/4}}{1+(1-y_k^4)^{1/4}}$

  $a_{k+1} = a_k(1+y_{k+1})^4 - 2^{2k+3} y_{k+1} (1 + y_{k+1} + y_{k+1}^2)$

Se tiene que a_k posee una convergencia cuártica 1/π; es decir, en cada iteración se multiplica por cuatro, aproximadamente, el número de dígitos correcto.

El grado de convergencia se obtiene de la siguiente desigualdad:

$\left|\frac{1}{\pi}-a_n\right| <= 16 \; (4^n) (e^{-2\pi4^n})$