Lema de Gauss

En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si $D\,$ es un dominio de factorización única (DFU) y $\mathbb{K}$ es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en D es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo $p\in D[x]$ es irreducible en $~D[x]$ si y sólo si lo es en $\mathbb{K}[x]$.

El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en D[x] y la irreducibilidad del mismo polinomio en $\mathbb{K}[x]$, puede demostrarse que al ser $\mathbb{K}[x]$ un DFU también lo es D[x].

Así, se tiene como corolario que si D es un DFU entonces también lo es D[x], sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, $\mathbb{Z}[x]$ no es un DIP pero sí es un DFU.

También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.