Lema fundamental de teoría de cribas

En teoría de números, más específico en teoría de cribas, el lema fundamental de teoría de cribas es uno de varios resultados que sistematizan el proceso de aplicar métodos de cribado a problemas particulares. Halberstam y Richert ^[1] aseguran:

Un hecho curioso en la literatura de los métodos de cribado, es que si bien se usa frecuentemente el método de Brun, hay pocos intentos de formular un teorema general de Brun (tal como el teorema 2.1); como resultado, existen demasiados trabajos sorprendentes los cuales repiten en considerable detalle los pasos del argumento de Brun.

Diamond y Halberstam^[2] le atribuyeron la terminología Lema Fundamental a Jonas Kubilius.

Notación Común

Usaremos la siguiente notación:

• A es un conjunto de X enteros positivos, esto es |A|=X, y A_d es el subconjunto de A de enteros divisibles por d.
• w(d) y R_d son funciones de A y de d que estiman el número de elementos de A que son divisibles por d, acorde a la fórmula

$\left\vert A_d \right\vert = \frac{w(d)}{d} X + R_d .$

Luego w(d) / d representa una densidad aproximada de miembros divisibles por d, y R_d representa un error o término residuo.

• P es un conjunto de primos, y P(z) es el producto de los elementos de este que son menores o iguales a z
• S(A, P, z) es el número de elementos de A que no son divisibles por cualquier primo en P esto es ≤ z
• κ es una constante, llamada la densidad distinguidora,^[3] que aparece en las hipótesis anteriores . Este medida de peso es una media ponderada de el número de clases residuales borradas por cada primo.

Lema fundamental de la criba combinatoria

Esta formulación es de Tenenbaum.^[4] Otras formulaciones en Halberstam y Richert,^[1] en Greaves,^[3] y en Friedlander y Iwaniec.^[5] Consideremos las siguiente hipótesis:

• w(d) es una función multiplicativa.
• La densidad distinguidora κ satisface, para alguna constante C y cualquier par de números reales η and ξ con 2 ≤ η ≤ ξ:

$\prod_{\eta \le p \le \xi} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) ^{-1} < \left( \frac{\ln \xi}{\ln \eta} \right) ^\kappa \left( 1 + \frac{C}{\ln \eta} \right).$

Existe un parámetro u ≥ 1 esto es, a nuestra disposición. Tenemos uniformente en A, X, z, y u que

$S(a,P,z) = X \prod_{p \le z, p \in P} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) \{1 + O(u^{-u/2})\} + O\left(\sum_{d \le z^u, d|P(z)} |R_d| \right).$

Para ciertas aplicaciones fijamos u de manera que obtengamos el mejor término de error posible. En la criba esto representa el número de niveles en el principo de inclusión-exclusión.

Lema fundamental para la criba de Selberg

Esta formulación viene de Halberstam y Richert.^[1] otra formulación se encuentra en Diamond y Halberstam.^[2]

Considere las hipótesis:

• w(d) es una función multiplicativa.
• La densidad distinguidora κ satisface, para alguna constante C y para cualquier par de números reales η y ξ con 2 ≤ η ≤ ξ:

$\sum_{\eta \le p \le \xi} \frac{w(p) \ln p}{p} < \kappa \ln \frac{\xi}{\eta} + C.$

• w(p) / p < 1 - c para algun número pequeño fijo c y todo p
• | R_d | ≤ ω(d) donde ω(d) es el número de distintos divisores primos de d.

El lema fundamental tiene al menos la misma forma que la de la criba combinatoria. Tome u = ln X / ln z. La conclusión es:

$S(a,P,z) = X \prod_{p \le z, p \in P} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) \{1 + O(e^{-u/2})\}.$

Note que u no es un parametro pequeño a nuestra disposición, pero es controlada por la variable z, la cual se encuentra a nuestra disposición.

Note que el término de error es más debil que el término existente en el lema fundamental de la criba combinatoria. Halberstam y Richert aseguran:^[1] "Luego no es cierto decir, como se ha asegurado en la literatura(matematica) por los tiempos de los tiempos, que la criba de Selberg es siempre mejor que la de Brun."

Véase

• Teoría de cribas

Notas

1. ↑ ^{a b c d}

   Halberstam, Heini; H. -E. Richert (1974). Sieve Methods. London: Academic Press. ISBN 0123182506. 

2. ↑ ^{a b} Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini (2008). A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics. 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521894876. 
3. ↑ ^{a b} Greaves, George (2001). Sieves in Number Theory. Berlin: Springer. ISBN 3540416471. 
4. ↑ Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521412617. 
5. ↑ Friedlander, John; Henryk Iwaniec (1978). «On Bombieri's asymptotic sieve». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze 4^e série 5 (4):  pp. 719–756. http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1978_4_5_4_719_0.