Ley del péndulo


Ley del péndulo
Para otros usos de este término, véase Péndulo (desambiguación).

Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l, en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente: 9,81 m.s-2), y sujeto a pequeñas oscilaciones.
El período T de oscilación del péndulo es dado por la fórmula:

T = 2 \pi \sqrt{\frac {l} {g}}

Prueba

Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.

Péndulo esquema.png

La energía cinética del péndulo es : Ec = m·v2/2 = ml2θ'2/2.
Se puede tomar su energía potencial igual a: Ep = - m·g·l·cos θ

Este sistema no pierde energía, por lo tanto Ec + Ep es constante (1).

Al derivar (1) se obtiene: m·l2·θ'·θ" + m·g·l·θ'·sen θ = 0 (2).

Se puede simplificar (2) por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da:

l·θ" + g·sen θ = 0 (3).

Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede remplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ3 (porque sin θ = θ + O(θ3)).

Entonces (3) equivale a:

l·θ" + g·θ = 0 o sea θ" = -(g/l)·θ (4)

Un movimiento oscilatorio sigue la ley θ = θM·sen (ω·t + φ) lo que implica que θ" = - ω2·θ. (5) (ω es la velociad angular de la ley y θM el ángulo máximo)

Identificando (4) y (5) se obtiene ω2 = g/l, es decir ω= √(g/l).

Concluimos recordando que T = 2π/ω.


Wikimedia foundation. 2010.

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